Description 你有一个随机数生成器,它会以一定的概率生成[0,2^N-1]中的数,每一个数的概率是由序列A给定的,Pi=Ai/sum(Ai) 现在有一个初始为0的数X,每一轮随机生成一个数v,将X变成X xor v 求X变成0~2^N-1的期望轮数 答案对998244353取模 N<=18,Ai<=1000 Solution 不妨反过来做,f[i]为i到0的期望轮数,显然等价 易得i>0, \[f[i]=1+\sum f[i\ xor\ j]p[j]\] 1移到左边来 \[f[…

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ 给定一个值域在 [0, 2^N) 的随机数生成器,给定参数 A[0...2^N-1]. 该生成器有 \(\frac{A_i}{\sum A}\) 的概率生成 i,每次生成都是独立的. 现在有一个 X,初始为 0.每次操作生成一个随机数 v 并将 X 异或 v. 对于每一个 i ∈ [0, 2^N),求期望多少次操作 X 第一次等于 i. 原题题面. @solut…

题目   点这里看题目. 分析   第一步可以将\(A\)数组转化成概率\(P(j)\):每一步操作异或\(j\)的概率.   接着发现,\(x\)从\(0\)变成\(i\)的期望等于\(x\)从\(i\)变成\(0\)的期望.   这样我们的起点虽然不一样,但是终点就是一样的.这样我们可以套用随机游走的模型:   \(f(i)\):从\(i\)为起点变成\(0\)的期望.   边界条件为\(f(0)=0\),剩下的转移为: \[\begin{aligned} &f(i)=1+\sum_{j=0…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4996 题目大意 给出一个\(0\sim 2^n-1\)下标的数组\(p\),\(p_i\)表示有\(p_i\)的权重概率选择\(i\). 开始有一个\(x=0\),每次选择一个数字\(y\)让\(x=x\ xor\ y\) 对于每个\(i\)求期望多久后第一次变成\(i\). \(1\leq n\leq 18\) 解题思路 搞一个异或卷积的生成函数,先搞出概率的函数\(P\). 然后设\(E\)表示答案的函…

Atcoder 题面传送门 & 洛谷题面传送门 tsc 考试前 A 的题了,结果到现在才写这篇题解--为了 2mol 我已经一周没碰键盘了,现在 2mol 结束算是可以短暂的春天 短暂地卷一会儿 OI 了(( u1s1 写这篇题解的时候我连题都快忘了... 首先设 \(b_i=\dfrac{A_i}{\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}A_j}\),其次碰到这种期望类的题目我们考虑套路地设 \(p_i\) 表示异或得到 \(i\) 的概率,那么有 \(p_i=\sum\limits…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4589 n*m*m 做法 dp[i][j] 前i堆石子,异或和为j的方案数 第一重循环可以矩阵快速幂优化 后面求出序列的生成函数可以FWT优化 做log次FWT也很慢(logn*m*logm) 两个合并就是倍增FWT,即先对生成函数的序列做一次正变换,对正变换得到的每个结果快速幂,最后逆变换回去 时间复杂度O(logn*m+m*logm) 生成函数:是质数则系数为1,否则为0 #include<c…

令$N=2^{n}$先将$\forall 0\le i<N,a_{i}$除以$\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}$,即变为概率 令$f_{i}$表示$i$的答案(第一次变成$i$的期望步数),则$$\begin{cases}f_{0}=0\\f_{i}=\left(\sum_{j=0}^{N-1}a_{j}f_{i\oplus j}\right)+1&(1\le i<N)\end{cases}$$定义$\bigoplus$为异或卷积,令$A(x)$和$F(x)$分别为对应序列的…

大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西 我会的数学知识基本都在下面了 博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．． 这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 FFT 基本概念 1.多项式的两种表达(拉格朗日插值法) 多项式:\(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),最高项次数为\(n-1\),次数界为\(n\) \((a_0,\cdots,a_{n-1})\)为多项式的系数表达, \((x_0,y_0),\cdots,(x_{n…

FWT学习笔记 好久以前写的,先粘上来 定义数组 \(n=2^k\) \(A=[a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_{n-1}]\) 令\(A_0=[a_0,a_1,a_2,...,a_{\frac n 2-1}]\) 且\(A_1=[a_{\frac n 2},a_{\frac n 2+1},..,a_{n-1}]\) 即\(A_0\)为没有最高位的部分,\(A_1\)为有二进制最高位的部分 \(A\)可以用\(A=\{A_0,A_1\}\)表示 定义运算 \(A+B=[a_0+b_0…

FWT应用 我不知道\(FWT\)的严格定义 百度百科和维基都不知道给一坨什么****东西** FWT(Fast Walsh Fransform),中文名快速沃尔什变换 然后我也不知道\(FWT\)到底是什么 你们怎么念FWT的反正我念扶卧塔 \(FFT\)当然可以做多项式卷积 形如\(C(k)=\sum_{i+j=k}f[i]g[j]\),很简单,大家都会 由于有这个性质所以也可做分治\(FFT\) 但是如果把\(i+j\)换一下操作符 变成\(C(k)=\sum_{i???j=k}f[i]g…