题目大意: 项链和手镯都是若干珠子穿成的环形首饰,手镯可以旋转和翻转,但项链只能旋转,给n个珠子,t种颜色,求最后能形成的手镯,项链的数量 这里根据等价类计数的polya定理求解 对于一个置换f,若一种方案经过置换后不改变,那么不改变的点的个数记作C(f) 统计所有的C(f) , 相加之后求和除以置换的种数即可 那么这道题里面 对于项链来说,旋转一个角度,也就是2*PI/n , 那么置换群可表示为 1 2 3 4 .... n 2 3 4 5 ... 1 这里就存在一个循环节 所以方案数为 t^…

Burnside定理:若一个着色方案s经过置换f后不变,称s为f的不动点,将置换f的不动点的数目记作C(f).等价类的数目等于所有C(f)的平均值. 一个项链,一个手镯,区别在于一个能翻转一个不能,用t种颜色染n颗珠子,求等价类的个数. 旋转置换群一共有n个置换,分别对应将项链整体逆时针旋转0个.1个.2个...珠子的置换. 对于第i个置换,第0个.i个.2i...个珠子构成一个循环,共有gcd(n, i)个循环,每个循环中有n / gcd(n, i)个珠子. 所以n个置换,每个置换的不动点有t…

Burnside引理:对于一个置换\(f\), 若一个着色方案\(s\)经过置换后不变,称\(s\)为\(f\)的不动点.将\(f\)的不动点数目记为\(C(f)\), 则可以证明等价类数目为\(C(f)\) 的平均值. 也就是对于置换群中的某一个置换\(f\),\(C(f)\)为所有着色方案中,那些经过置换\(f\) 可以互相转换(即等价)的着色方案数 因为一个置换可以拆成若干个循环,置换中的每个元素可以看成是一个结点,那么每个节点必有一个出度和入度,所以肯定会形成若干个环,在置换\(f\)…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) , \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \circ b\) 结合律 对于 \(\forall a,b,c \in S\) , \(a \circ (b \circ c) = (…

用6种颜色去染正方体的12条棱,但是每种颜色都都限制了使用次数. 要确定正方体的每一条棱,可以先选择6个面之一作为顶面,然后剩下的四个面选一个作为前面,共有24种. 所以正方体的置换群共有24个置换. 具体每种置换的情况就是:UVA 10601 Cubes 幸运的是,任意一个置换中的循环节长度都是相同的(有一种置换除外),所以在计算每个置换的“不动点”的时候就方便了很多. 调了好久调不对样例,后来发现C[0][0]没有初始化为1,=_=|| #include <cstdio> #include…

Description 现有一颗含\(N\)个珠子的项链,每个珠子有\(t\)种不同的染色.现求在旋转置换下有多少种本质不同的项链,在旋转和翻转置换下有多少种本质不同的项链.\(N < 51,t < 11\) Input The input file contains several lines of input. Each line contains two positive integers \(N (0 < N < 51)\) and \(t (0 < t < 1…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=35397 [思路] Polya定理. 旋转:循环节为gcd(i,n),i为偏移距离. 翻转:当n为偶数时,对称轴过点时循环节为n/2+1有n/2个,不过点时循环节为n/2有n/2个. 使用polya定理进行计数即可. [代码] #include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; +; LL pow…

这题和POJ-1286一样 题意: 给出t种颜色的n颗珠子 (每种颜色的珠子个数无限制,但总数必须是n), 求能制作出项链和手镯的个数 注意手镯可以翻转和旋转  而 项练只能旋转 解析: 注意Polya定理: 等价类的个数等于所有的置换f的km(f)的平均数 先考虑旋转,一共有n种情况,旋转1颗珠子构成循环,2颗,3颗·····n颗,那么对于旋转i颗珠子有gcd(i,n)个循环,那么根据Polya定理  置换的不动点的个数为 a = sum(tgcd(i, n)); 为什么又gcd(i, n)个…

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平…