[51Nod 1220] - 约数之和 (杜教筛)

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51NOD 1220 约数之和 [杜教筛]

1220 约数之和题意:求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)$ \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

[51Nod 1220] - 约数之和 (杜教筛)

题面令d(n)d(n)d(n)表示nnn的约数之和求 ∑i=1n∑j=1nd(ij)\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)i=1∑nj=1∑nd(ij) 题目分析先给结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣jxj/y[(x,y)==1]\large d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}xj/y[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑y∣j∑xj/y[(x,y)==1] 可以通过传送门类似的证明方法证明拖更- AC code #includ…

51nod 1220 约数之和【莫比乌斯反演+杜教筛】

首先由这样一个式子:$ d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} $大概感性证明一下吧我不会证然后开始推: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\sum_{p|i}\sum_{q|j}\frac{pj}{q} \] \[…

【51nod】1239 欧拉函数之和杜教筛

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

51Nod.1244.莫比乌斯函数之和(杜教筛)

题目链接 map: //杜教筛 #include<map> #include<cstdio> typedef long long LL; const int N=5e6; int mu[N+3],P[N+3],cnt; bool Not_P[N+3]; std::map<LL,LL> sum; //std::map<LL,LL>::iterator it; void Init() { mu[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if…

[51Nod 1237] 最大公约数之和 (杜教筛+莫比乌斯反演)

题目描述求∑i=1n∑j=1n(i,j) mod (1e9+7)n<=1010\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)~mod~(1e9+7)\\n<=10^{10}i=1∑nj=1∑n(i,j) mod (1e9+7)n<=1010 题目分析乍一看十分像裸莫比乌斯反演,然而nnn的范围让人望而却步于是先变化一下式子 Ans=∑i=1n∑j=1n(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)Ans=i=1∑nj=1∑n(i,j…

【51nod-1239&1244】欧拉函数之和&莫比乌斯函数之和杜教筛

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…