题面 传送门:洛咕 Solution 推到自闭,我好菜啊 显然,这题让我们求: \(\large \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\in prime]\) 根据套路,我们可以把判断是否为质数改为枚举这个质数,有: 为了方便枚举,我们在这里假设有\(m>n\) \(\large \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k\in prime}^{n}[gcd(i,j)= k]\) 显然,要让\(gcd(i,j)=k\),必须要有\…

莫比乌斯反演第一题.莫比乌斯反演入门 数论题不多BB,直接推导吧. 首先,发现题目所求\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=prime]\) 考虑反演,我们令\(f(d)\)为\(\gcd(i,j)(i\in[1,n],j\in[1,m])=d\)的个数,\(F(n)\)为\(d|\gcd(i,j)\)的个数 即: \[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=d]\] \[F(s)=\sum_{s|d}f(d…

原题传送门 这题需要运用莫比乌斯反演(懵逼钨丝繁衍) 显然题目的答案就是\[ Ans=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)=prime]\] 我们先设设F(n)表示满足\(gcd(i,j)\%t=0\)的数对个数,f(t)表示满足\(gcd(i,j)=t\)的数对个数 \[f(t)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)=t]\] \[F(n)=\sum_{n|t}\lfloor \frac{N}{n} \rfloor \lfloor \…

第一道莫比乌斯反演...$qwq$ 设$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$ $F(n)=\sum_{n|d}f(d)=\lfloor \frac{N}{n} \rfloor \lfloor \frac{M}{n} \rfloor$ $f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$ $ans=\sum_{p\in pri}f(p)$ $=\sum_{p\in pri}\sum_{p|d}\mu(\frac{d}{p})F…

洛谷 P2257 YY的GCD \(solution:\) 这道题完全跟[POI2007]ZAP-Queries (莫比乌斯反演+整除分块) 用的一个套路. 我们可以列出答案就是要我们求: \(ans=\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{[gcd(i,j)==p]}}\) 我们发现后面那一部分(\(\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{[gcd(i,j)==p]}}\))可以套路的莫比乌斯反演: \(ans=\sum…

P2257 YY的GCD 题目描述 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教…… 多组输入 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数T 表述数据组数 接下来T行,每行两个正整数,表示N, M 输出格式: T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 10 10 100 100 输出样例#1: 复制 30 2791…

P2257 YY的GCD 解题思路 果然数论的题是真心不好搞. 第一个莫比乌斯反演的题,好好推一下式子吧..(借鉴了blog) 我们要求的答案就是\(Ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{m}[\gcd(x,y)=prim]\) 这算是一类题了,大概套路如下: \(f[d]\) 表示 \(\gcd(i,j)\) 所有的方案数. 即:\(f(d)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j…

[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257 // luogu-judger-enable-o2 /* ----------------------- [题解] https://www.luogu.org/blog/peng-ym/solution-p2257 [莫比乌斯反演] http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html [整除分块] http://www.cnblogs.com/peng-y…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257 求 \(n,m\) 中 \(gcd(i,j)==p\) 的数对的个数 求 $\sum\limits_p \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==p] $ 由套路: \(=\sum\limits_p \sum\limits_{k=1}^{N}\mu(k) \lfloor\frac{n}{kp}\rfloor \lfloor\frac{m}{kp}…

原题链接 庆祝: 数论紫题 \(T4\) 达成! 莫比乌斯 \(T1\) 达成! yy 真是个 神犇 前记 之前我觉得: 推式子,直接欧拉筛,筛出个 \(\phi\),然后乱推 \(\gcd\) 就行了. 现在我觉得: 推式子,还是欧拉筛,筛出个 \(\mu\) ,然后乱推 \(\gcd\) 就行了. 前置知识: 一定数学基础 ,欧拉筛. 至少了解单位函数.(最好会整除分块哦) 我们先引入 \(\mu\) 的概念. \[ \mu_n = \begin {cases} 1 , n=1 \\ (-1…

题面传送门 题意: 求满足 \(1 \leq x \leq n\),\(1 \leq y \leq m\),\(\gcd(x,y)\) 为质数的数对 \((x,y)\) 的个数. \(T\) 组询问. \(1 \leq T \leq 10^4\),\(1 \leq n,m \leq 10^7\). 今天终于学会了莫比乌斯反演反演~~,就写篇博客加深下印象吧. 要说这莫比乌斯反演有多么博大精深,就不得不从莫比乌斯函数 \(\mu(x)\) 说起. 我们定义 \(\mu(x)\) 为: \[\mu(…

原题链接 差不多算自己推出来的第一道题QwQ 题目大意 \(T\)组询问,每次问你\(1\leqslant x\leqslant N\),\(1\leqslant y\leqslant M\)中有多少\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)\in \mathbb{P}\) 数据范围 \(T=10000\),\(1\leqslant N,M\leqslant 10000000\) 显然,暴力不可做. 这种公约数计数的题貌似大多都是用莫比乌斯反演做的?套路啊,套路. 首先,我们先很套路地设一个函数…

今日份是数论 大概是..从小学奥数到渐渐毒瘤 那就简单列一下目录[大雾 同余 质数密度 唯一分解定理 互质 完全剩余系 简化剩余系 欧拉函数 逆元 斐蜀定理 阶(及其性质) 欧拉定理 费马小定理 原根 调和级数 欧拉函数推广到积性函数 完全积性函数 莫比乌斯函数 莫比乌斯反演 狄利克雷卷积 杜教筛 Lucas定理 回到这道题 题意: 给出n, m ∈ [1, 1e7] ,求有多少对(x, y) 满足x ∈ [1, n], y ∈ [1, m] 且 gcd(x, y) 为质数 字丑[痛心 附上代码…

第一次做莫比乌斯反演,推式子真是快乐的很啊(棒读) 前置 若函数\(F(n)\)和\(f(d)\)存在以下关系 \[ F(n)=\sum_{n|d}f(d) \] 则可以推出 \[ f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \] 这就是莫比乌斯反演 题目要求 求\(gcd(a,b)=\{prime\},a\in\left[1,n\right],b\in\left[1,m\right]\) 思路 根据题意所以设出\(f(n)\)表示\(gcd(a,b)=n\)的\(a…

传送门 原来……莫比乌斯反演是这么用的啊……(虽然仍然不是很明白) 首先,题目所求如下$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=prim]$$ 我们设$f(d)$表示$gcd(i,j)=d$的$(i,j)$的对数,$g(d)$表示存在公因数为$d$的$(i,j)$的对数 那么就有$$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$$ $$g(d)=\sum_{d|k}f(k)=\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\l…

题意:求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j) = prim]\] 题解:那就开始化式子吧!! \[f(d) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j) = d]\] \[F(x) = \sum_{d|x} f(d) = \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor\] \[f(d) = \sum_{d|…

题目大意 \(t\)(\(t\leq10^4\))组数据,给定\(n,m\)(\(n,m\leq10^6\))求 \[\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}[gcd(x,y)=1]\] 题解 这个人(点这里)讲得很清楚\(\color{white}{\text{shing太强了}}\) 代码 #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #inc…

题目描述: 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对. 题解: 代码: #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define N 10000500 #define ll long long ],cnt,mu[N]; ll f[N],F[N]; bool vis[N]; void…

题目大意:求$gcd(i,j)==k,i\in[1,n],j\in[1,m] ,k\in prime,n,m<=10^{7}$的有序数对个数,不超过10^{4}次询问 莫比乌斯反演入门题 为方便表述,由于n和m等价,以下内容均默认n<=m 题目让我们求:$\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$ 容易变形为:$\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \righ…

YY的GCD 原题链接 这应该是我做的第一道莫比乌斯反演的题目. 题目描述 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教-- 多组输入 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数T 表述数据组数 接下来T行,每行两个正整数,表示N, M 输出格式: T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 说明 T=10000,N, M <= 10000000 解…

2820: YY的GCD Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1624  Solved: 853[Submit][Status][Discuss] Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种 傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正…

[BZOJ2820]YY的GCD 试题描述 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种 傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入 输入 第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正整数,表示N, M 输出 T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 输入示例 输出示例 数据规模及约定 T = 10000N, M <= 10000000 题解 设 易知 ……式1 根据莫比…

题目大意: 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 这里就抄一下别人的推断过程了 后面这个g(x) 算的方法就是在线性筛的时候只考虑当前的数最小因子,如果进来的最小因子不存在,相当于在之前那个数的基础上的每个mu值都多加了一个质数,那么 这些mu值就要取反,如果已经包含了这个最小因子,我这里另外进行了跟之前类似的讨论方法,在代码中写着 因为这题目数据比较大,这里求解的时候不应该线性求,因为总是有一段区间的n/i*(m/i)值…

莫比乌斯反演 PoPoQQQ讲义第二题. 暴力枚举每个质数,然后去更新它的倍数即可,那个g[x]看不懂就算了…… 为什么去掉了一个memset就不T了→_→…… /************************************************************** Problem: 2820 User: Tunix Language: C++ Result: Accepted Time:4368 ms Memory:167304 kb ******************…

首先我们来看一道题  BZOJ 2301 Problem b Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Output 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 Sample Input 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 Sample Output 14 3 HI…

YY的GCD   Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教…… 多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数 接下来T行,每行两个正整数,表示N, M Output T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 Sample Input 210 10100 100 Sample Output 302791 Hint T…

[BZOJ2820]YY的GCD(莫比乌斯反演) 题面 讨厌权限题!!!提供洛谷题面 题解 单次询问\(O(n)\)是做过的一模一样的题目 但是现在很显然不行了, 于是继续推 \[ans=\sum_{d=1}^n[d\_is\_prime]\sum_{i=1}^{n/d}[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]\] 老套路了 令\(T=id\) \[ans=\sum_{T=1}^{n}[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}[d\_is\_prim…

YY的GCD 给出T个询问,询问\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)\in prime)\),T = 10000,N, M <= 10000000. 解 显然质数是需要枚举的,设N<M,于是 \[ans=\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)==p)\] 于是设 \[f(p)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)==p)\] \[F(p)=\sum_{i=1}^N\su…

[BZOJ2820]YY的GCD Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对 kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教-- 多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数 接下来T行,每行两个正整数,表示N, M Output T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 Sample Input 2 10 10 100 100 Sample Output 30 2…

Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正整数,表示N, M Output T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 Sample Input 2 10 10 100 100 Sample Output 30 2791 HINT T = 10000 N,…