早期作品,不喜轻喷. LG传送门 组合数与斯特林数的基本应用. 组合数 大家应该都熟悉它的表达式,但我们这里使用它的递推式会更加方便,下面推导组合数的递推式.设\(\binom{n}{m}\)表示在\(n\)个元素中取\(m\)个的方案数,那么如果我们考虑第\(n\)个元素取或不取:取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m-1\)个:不取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m\)个.由此得到递推式: \(\qquad \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}…

显然排列中的最大值会将排列分成所能看到的建筑不相关的两部分.对于某一边,将所能看到的建筑和其遮挡的建筑看成一个集合.显然这个集合内最高的要排在第一个,而剩下的建筑可以随便排列,这相当于一个圆排列.同时这些集合的相对顺序显然是固定的.那么考虑划分出一些集合分别放在两边即可.这就是一个非常标准的第一类斯特林数了.数据范围比较友好,可以直接递推. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<c…

luogu description 一个\(1...n\)的排列,其前缀最大值有\(A\)个,后缀最大值有\(B\)个,求满足要求的排列数. 一个位置\(i\)满足前缀最大当且仅当不存在\(j<i\)使得\(a_j>a_i\).后缀最大亦然. \(T\le2\times10^5,n\le5\times10^4,A,B\le100\) sol 考虑\(n\)这个数.它一定既是前缀最大又是后缀最大,所以它的前面还有\(A-1\)个前缀最大,\(B-1\)个后缀最大. 考虑每个前缀/后缀最大值,它一…

题目传送门 题意:给出$N$个高度从$1$到$N$的建筑,问有多少种从左往右摆放这些建筑的方法,使得从左往右看能看到$A$个建筑,从右往左看能看到$B$个建筑.$N \leq 5 \times 10^4 , A,B \leq 100$ 第一次看到第一类$Stirling$数有用emmm 考虑将某种方案中最高的建筑拿出来,将分成的两半中可以看得见的与被它挡住的建筑分成一个部分,如下 绿色的当然是最高的,剩下的两个部分分成了1,2,3三个部分.可以知道我们总共需要$A+B-2$这样的部分,而其中$A…

[Luogu4609]建筑师(组合数学) 题面 洛谷 题解 首先发现整个数组一定被最高值切成左右两半,因此除去最高值之后在左右分开考虑. 考虑一个暴力\(dp\) ,设\(f[i][j]\)表示用了\(i\)个数并且能够看到\(j\)个的方案数,强制最大值在最右侧. 每次添加最小的一个数放进来:\(f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(i-2)\) 如果把它放在最前面,答案加一,也就是\(f[i-1][j-1]\)转移过来, 否则的话,因为最大值强制放在最后面,所以还剩下…

题目链接 洛谷P4609 题解 感性理解一下: 一神带\(n\)坑 所以我们只需将除了\(n\)外的\(n - 1\)个元素分成\(A + B - 2\)个集合,每个集合选出最大的在一端,剩余进行排列,然后选出\(A - 1\)个集合放左边,剩余放右边 容易发现分割集合并内部排列实质对应第一类斯特林数\[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix}\] 所以答案就是 \[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \e…

题面 洛谷 题解 (图片来源于网络,侵删) 以最高的柱子\(n\)为分界线,我们将左边的一个柱子和它右边的省略号看作一个圆排列,右边的一个柱子和它左边的省略号看作一个圆排列,于是,除了中间的最高的柱子,我们可以把剩下的\(n-1\)根柱子放入这\(A+B-2\)(左边\(A-1\)个右边\(B-1\)个)个圆排列中(第一类斯特林数),然后在根据组合数进行区分,有: \[ ans=s_{n-1}^{A+B-2}\times C_{A+B-2}^{A-1} \] 预处理第一类斯特林和组合数即可. #…

传送门 没想到连黑题都会有双倍经验的 其实这题本质上是和CF960G Bandit Blues一样的,不过那里是要用分治FFT预处理第一类斯特林数,这里直接打表预处理第一类斯特林数就可以了 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)…

传送门 解题思路 好神仙的思路,首先一种排列中按照最高点将左右分开,那么就是要在左边选出\(a-1\)个,右边选出\(b-1\)一个,这个如何计算呢?考虑第一类斯特林数,第一类斯特林数是将\(n\)个数分成\(m\)个圆排列的方案数,在这道题中,假如划分成圆排列之后,将圆排列从最大值处断开可以造成\(1\)的贡献.那么答案就为\(s(n-1,a+b-2)*C(a+b-2,a-1)\). 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include&…

传送门 弱化版:FJOI2016 建筑师 由上面一题得到我们需要求的是\(\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}\) 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以\(O(N)\),但是暂时我们求第一类斯特林数只有\(O(N^2)\)的方法 考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…