\(\\\) Miller-Rabin 素性测试 考虑如何检验一个数字是否为素数. 经典的试除法复杂度 \(O(\sqrt N)\) 适用于询问 \(N\le 10^{16}\) 的时候. 如果我们要把询问范围加到 \(10^{18}\) ,再多组询问呢? Miller 和 Rabin 建立了Miller-Rabin 质数测试算法. \(\\\) Fermat 测试 首先我们知道费马小定理: \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p \] 当且仅当 \(p\) 为素数时成立. 逆命题是…

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是质数,否则\(n\)是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛 用 \(O(n)\)…

x = lcm/gcd,假设答案为a,b,那么a*b = x且gcd(a,b) = 1,因为均值不等式所以当a越接近sqrt(x),a+b越小. x的范围是int64的,所以要用Pollard_rho算法去分解因子.因为a,b互质,所以我们把相同因子一起处理. 最多16个不同的因子:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, 乘积为 614889782588491410, 乘上下一个质数53会爆int64范围. 所以剩下暴力枚举一下就好. #include…

Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num…

Eddy's research I Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 6664    Accepted Submission(s): 3997 Problem Description Eddy's interest is very extensive, recently he is interested in prime…

Pollard Rho介绍 Pollard Rho算法是Pollard[1]在1975年[2]发明的一种将大整数因数分解的算法 其中Pollard来源于发明者Pollard的姓,Rho则来自内部伪随机算法固有的循环 Pollard Rho算法在其他因数分解算法[3]中不算太出众,但其空间复杂度Θ(1)的优势和好打的代码使得OIer更倾向于使用Pollard Rho算法 毕竟试除法太慢了,谁没事打Pollard Rho不打试除法 Pollard Rho原理 生日悖论 如果一年只有365天(不计算闰…

关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍 首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子 定理2:如果n不是素数,则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子 定理3:定义f(n)为不大于n的素数的个数,则 f(n) 近似等于 n/ln(n) (ln为自然对数) ,具体请参考here 求不超过n的素数                         本文地址 算法1:埃拉托斯特尼筛法,该算法的…

题意: 给你一个数n(n <= 2^54),判断n是不是素数,如果是输出Prime,否则输出n最小的素因子 解题思路: 自然数素性测试可以看看Matrix67的  素数与素性测试 素因子分解利用的是Pollard rho因数分解,可以参考 Pollard rho因数分解 存个代码~ /* ********************************************** Author : JayYe Created Time: 2013-9-25 16:02:25 File Name…

如何判断一个素是素数 效率很高的筛法 打个表 (素数的倍数一定是合数) 就可以解决问题. 筛选法的效率很高,但是遇到大素数就无能为力了. 米勒罗宾素性测试是一个相当著名的判断是否是素数的算法 核心为费马小定理: 假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p 的余数恒等于1. 逆推一下即p的 a^(p-1)%p !=1 (0<a<p) ,它一定是合数. 如果 a^(p-1)%p ==1 (0<a<p) 则它可能是合数可能是素数.概率算法…

题目大意 给你一个非常大的整数,判断它是不是素数,如果不是则输出它的最小的因子 题解 看了一整天<初等数论及其应用>相关部分,终于把Miller–Rabin和Pollard's rho这两个算法看懂了O(∩_∩)O~~ Miller–Rabin主要用到了费马小定理,即:设p是一个素数,a是一个正整数且p不整除a,则ap-1≡1(mod p).若x=b(n-1)/2,x2=bn-1≡1(mod n),如果n是一个素数,则x≡1(mod n)或者x≡-1(mod n).因此,一旦我们有bn-1≡1…