题意 题目链接 Sol min25筛的板子题,直接筛出\(g(N, \infty)\)即可 筛的时候有很多trick,比如只存\(\frac{N}{x}\)的值,第二维可以滚动数组滚动掉 #include<bits/stdc++.h> #define LL long long //#define int long long using namespace std; const int MAXN = 2e6 + 10; int Lim, vis[MAXN], prime[MAXN], tot;…

题目链接 \(Description\) 给定\(n\),求\(1\sim n\)中的素数个数. \(2\leq n\leq10^{11}\). \(Solution\) Min_25筛.只需要求出\(g(n,|P|)\). 跑的好慢啊QAQ //5283ms 11.62M #include <cmath> #include <cstdio> #include <algorithm> typedef long long LL; const int N=317000<…

#6235. 区间素数个数 题目描述 求 1∼n 1\sim n1∼n 之间素数个数. 输入格式 一行一个数 n nn . 输出格式 一行一个数,表示答案. 样例 样例输入 10 样例输出 4 样例解释 1 2,3,5,72,3,5,72,3,5,7 数据范围与提示 对于 100% 100\%100% 的数据,2≤n≤1011 2 \leq n \leq 10^{11}2≤n≤10​11​​. #include<iostream> #include<cstdio> #include…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 求 \(1\sim n\) 之间素数个数. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一行一个数 n . \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一行一个数,表示答案. \(\color{#0066ff}{输入样例}\) 10 \(\color{#0066ff}{输出样例}\) 4 \(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\) 对于 \(100\%\) 的数据,\(2 \leq n \leq 10^{11}…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1197 题意:给你两个数 a b,求区间 [a, b]内素数的个数, a and b (1 ≤ a ≤ b < 231, b - a ≤ 100000). 由于a和b较大,我们可以筛选所有[2, √b)内的素数,然后同时去筛选掉在区间[a, b)的数,用IsPrime[i-a] = 1表示i是素数: ///LightOj1197求区间素数的个数; #include<stdio.h&g…

题目链接:LOJ 题目大意:看到题目名字应该都知道是啥了吧. $1\le N\le 10^{11}$. 阉割版 min_25 筛.发现答案实际上就是 min_25 筛中 $g(N,pl)$ 的值.(取次数 $k=0$ 即可) 在这里再写一遍式子.(用久了应该要背了) $g(n,0)=n-1$ $g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&p_j^2>n\\g(n,j-1)-(g(\lfloor\dfrac{n}{p_j}\rfloor,j)-(j-1))&p_j^2\l…

题目大意: 给定$n(n\leq10^{11})$,求$\pi(n)$. 思路: 计算$\pi$函数有$O(n^{\frac23})$的Lehmer算法,这里考虑$O(\frac{n^{\frac34}}{\ln n})$的洲阁筛. 我们可以将答案分为$\leq\sqrt n$的质数个数和$>\sqrt n$的质数个数. 其中$\leq\sqrt n$的质数个数可以线性筛预处理,而$>\sqrt n$的质数个数相当于用$\leq\sqrt n$的质数筛这$n$个数后剩下的数的个数. 若用$f[…

http://acm.gdufe.edu.cn/Problem/read/id/1333 https://www.zhihu.com/question/29580448/answer/44874605…

「学习笔记」Min25筛 前言 周指导今天模拟赛五分钟秒第一题,十分钟说第二题是 \(\text{Min25}​\) 筛板子题,要不是第三题出题人数据范围给错了,周指导十五分钟就 \(\text{AK}​\) 了,为了向 \(\text{AK}​\)王 学习,真诚的膜拜他,接受红太阳的指导,下午就学习了一下 \(\text{Min25}​\) 筛. 简介 如果 \(f(n)\) 是一个积性函数,且 \(f(n)\) 是一个关于 \(n\) 的简单多项式,并可以快速算出 \(f(p^k),\ p\…

题意:f(i)=i的幂次之和. 求(N+1-i)*f(i)之和. 思路:可以推论得对于一个素数p^k,其贡献是ans=(N+1)[N/(P^k)]+P^k(1+2+3...N/(P^k)); 我们分两部分统计答案即可,在p<=sqrt(N)时,可以暴力(阶乘那样一直除)统计答案. p>sqrt(N)时,我们可以利用min25的消息得到. 因为p>sqrt(N),这个时候k=1,所以贡献为(N+1)*(N/p)+p*(1+2+...N/p):我们把N/p相同的拉出来即可,而这个东西正好就是…

这道题的L和R都很大,所以如果直接开一个1~R的数组明显会超时.但是R-L并不大,所以我们考虑把这个区间(L--R)移动到(1--(R-L+1))这个区间再开数组(就是把每个数减L再加1).接下来先用埃氏筛分(可以自行百度)求出[2,√R]区间的素数,并存在prime数组里.对于prime数组里的每一个质数,求出其在区间(L--R)的倍数并且标记成false(非素数).那么剩下的区间(L--R)里的数就都是素数咯~然后相邻的比较,求出差最大的和差最小的即可. 注意的细节:1.判断素数的数组(pr…

题意: 给出a.b区间,判断区间内素数所占百分比 思路: 注意提前打表和控制精度1e-8的范围足够用了 细节: 精度的处理 判断素数的方法(且返回值为bool) 数据类型的强制转换 保存素数个数 提前进行打表和保存区间素数个数,每次给出a.b直接输出答案就行. #include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> using namespace std; //const int N=40*40+40+41; ;…

/** 题目:Help Hanzo lightof 1197 链接:https://vjudge.net/contest/154246#problem/M 题意:求一段区间内素数个数,[l,r] 在 [1,1e9] 范围内.r-l<=1e5; 思路:采用和平常筛素数的方法.平移区间即可. */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #i…

题目描述 区间质数个数 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数 询问次数n,范围m 接下来n行,每行两个整数 l,r 表示区间 输出格式: 对于每次询问输出个数 t,如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 5 1 3 2 6 输出样例#1: 复制 2 Crossing the line 说明 [数据范围和约定] 对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10 对于100%的数据 1<=n<=1000 1…

题意: 给定一个区间a,b,a-b>=100000,1<=a<=b<=231,求出给定a,b区间内的素数的个数 区间素数筛 (a+i-1)/ ii向上取整,当a为 i 的整数倍时,直接从a开始标记,当a不是 i 的整数倍时,得出 i 的整数倍且大于a,如果a小于等于 i 时,从2i开始标记 for(ll i=2;i*i<b;++i) { if(is_prime_small[i]) { for(ll j=2*i;j*j<b;j+=i) { is_prime_small[j…

题目连接:http://www.spoj.com/problems/CNTPRIME/ #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #define lson rt<<1,L,mid #define rson rt<<1|1,mid+1,R /* 水题 题意:给出n个初始值,给出两种操作 0 x y v:将[x,y]的数改…

题意 求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 \(f(1) = 0, f(p) = 0\) ,此处 \(p\) 为质数. 题解 首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

题意:一个数的真因数指不包括其本身的所有因数,给定L,R,求这个区间的所有数的最大真因数之和. 思路:min25筛可以求出所有最小因子为p的数的个数,有可以求出最小因子为p的所有数之和. 那么此题就是对于所有素数因子,求它对应的和. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll unsigned long long ; ll Sqr,vis[maxn],pri[maxn],sp[maxn],tot,m,id1[maxn],id2…

前言 杜教筛学了,顺便把min25筛也学了吧= =刚好多校也有一道题需要补. 下面推荐几篇博客,我之后写一点自己的理解就是了. 传送门1 传送门2 传送门3 这几篇写得都还是挺好的,接下来我就写下自己对min25筛的理解吧 . 正文 简介: min25筛同杜教筛类似,是用来解决一类积性函数的前缀和,即\(\sum_{i=1}^nF(i)\),并且这里的\(n\)可以达到\(10^{10}\)的规模. 但所求积性函数要求满足以下条件: \(F(p)\)可以表示为简单多项式的形式,比如\(p_1^{…

pro:给定三个整数L,R,P求[L,R]区间的整数有多少个是以P为最小因子的.L,R,P<2e9; sol: 一: 比较快的做法是,用函数的思想递归. 用solve(N,P)表示求1到N有多少数字多少个的最小因子是P: 1,首先P是合数,或者N<P:solve=0: 2,否则,如果P*P>=N:solve=1: 3,solve=N/P-solve(N/P,i);     2<=i<P 由于P主要分布在sqrt(N),而且N每次log级别减小,所以收缩得很快.具体的复杂度我证…

Min25 筛与 Powerful Numbers Min25 筛 大喊一声 Min25 NB!!! 这是一个非常神奇的东西,用于求更加普遍的积性函数的前缀和. 比如我们要求 \(\sum_{i=1}^{n}f(i)\),其中 \(f(1)=1\).我们考虑将质数与合数分开考虑.(由于 \(1\) 这俩都不是,我们先不考虑)所以答案就等于质数的答案加上合数的答案再加上 \(f(1)\). 但是这样还是不够优美.因为合数的范围太广泛了,我们考虑对于每个质数再分组. 在这里,我们设 \(\sigma…

http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1197 题目大意: 就是给你一个区间[a,b]让你求这个区间素数的个数 但a.b的值太大没法直接进行素数筛选(没法开那么大的数组),我们可以将a当做0,将b当做b-a 这样求[a,b]之间就变成了求[0, b - a]之间,这样就可以开数组来筛选 下图是代码式子j = j + prime[i] - a % prime[i]的由来 #include<stdio.h> #include<ma…

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 题意: 给出 l, r, k．求:(lambda d(i^k))mod998244353,其中 l <= i <= r, d(i) 为 i 的因子个数． 思路:若 x 分解成质因子乘积的形式为 x = p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an,那么 d(x) = (a1 + 1) * (a2 + 1) * ... * (an + 1) .显然 d(x^k) = (a1 * k…

题目背景 题目名称是吸引你点进来的 实际上该题还是很水的 题目描述 区间质数个数 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数 询问次数n,范围m 接下来n行,每行两个整数 l,r 表示区间 输出格式: 对于每次询问输出个数 t,如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line 输入输出样例 输入样例#1: 2 5 1 3 2 6 输出样例#1: 2 Crossing the line 说明 [数据范围和约定] 对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10 对于100…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

题意:给一个数n,返回小于n的素数个数. 思路:设数字 k =from 2 to sqrt(n),那么对于每个k,从k2开始,在[2,n)范围内只要是k的倍数的都删掉(也就是说[k,k2)是不用理的,若能被筛掉早就被筛了,保留下来的就是素数).最后统计一下[2,n)内有多少个还存在的,都是素数. 要注意,如果k已经被筛掉了,那么不用再用它来删别人了,因为已经被筛掉,那么现在比k2大的且是k的倍数,都已经被干掉了. class Solution { public: int countPrimes(…

题意: 给一个区间[L,U],(1<=L< U<=2,147,483,647),U-L<=1000000,求出[L,U]内距离近期和距离最远的素数对. 因为L,U都小于2^32,所以区间内的合数的最小质因子必定小于2^16,所以先筛出2^16以内的素数,用筛出来的素数去筛[L,U]内的合数.然后把[L,U]内的素数保存下来,再搜索近期和最远的素数对就可以.注意两整数相乘可能溢出32位,注意对1的推断. 代码: #include <cstdlib> #include &l…

POJ 3978 Primes(求范围素数个数) id=3978">http://poj.org/problem? id=3978 题意: 给你一个区间范围A和B,要你求出[A,B]内的素数个数.当中B<=100000. 分析: 首先我们求出2到10W的素数表.把每一个素数按从小到大的顺序保存在prime数组中.然后我们用二分查找找到A的下界和B的上界,然后用上界-下界即为素数个数. 程序实现用了两种筛选法来求素数表.两种筛选法都是基于每一个自然合数都能够分解为:最小素因子p*剩余部…

本文是对 LeetCode Count Primes 解法的探讨. 题目: Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n. 尽管题目并没有要我们写一个最优的算法,但是身为一个程序员,优化应该是一种习惯,在编程的过程中,随着思考进行优化.只要求我们满足给定的时间和空间即可. 如果你只能想出一个最简单的方法,难道你会有什么竞争力吗? 穷举 最开始我用的就是这个方法,可以说这是最简单的一种方法了,而且最开始,我…

%%yyb %%zsy 一. 基本操作:筛1~N中的素数个数.n=1e9 设F(M,j)表示,2~M的所有数中,满足以下条件之一的数的个数:①x是质数②x最小质因子大于(注意是大于没有等号)$P_j$(第j个质数) 转移方程:$F(M,j)=F(M,j-1)-(F([M/{P_j}],j-1)-(j-1))$理解的话,考虑埃氏筛的做法(这里从${P_j}^2$开始筛)统计这一次被删掉的数的个数也即形如:$x=P_j*some P_{j+x} (x>=0 \&\&some P_{j+x…