Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num…

Eddy's research I Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 6664    Accepted Submission(s): 3997 Problem Description Eddy's interest is very extensive, recently he is interested in prime…

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是质数,否则\(n\)是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛 用 \(O(n)\)…

GCD & LCM Inverse Time Limit: 2000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 9756Accepted: 1819 Description Given two positive integers a and b, we can easily calculate the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of a and b.…

Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num…

#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<ctime> #define lson l, m, rt<<1 #define rson m+1, r, rt<<1|1 #…

步骤 ①先写快速幂取模函数 ②MR算法开始 (1)传入两个参数一个是底数一个是n也就是幂数,如果n是一个合数那么可以判定,这个数一定不是素数 (2)然后开始寻找一个奇数的n去计算,如果最后满足a^d%n=1那么这个可能就是一个素数,然后再判断k=n-1(目前数学不好不明所以) (3)MR结束 ③编写check函数,传入一个参数.首先排除一些情况 (1)是2 3 7 61(int范围内完全可以判断的底数)如果是的话return true; (2)是偶数,1,3的倍数或5的倍数或7的倍数所有条件并起…

关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍 首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子 定理2:如果n不是素数,则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子 定理3:定义f(n)为不大于n的素数的个数,则 f(n) 近似等于 n/ln(n) (ln为自然对数) ,具体请参考here 求不超过n的素数                         本文地址 算法1:埃拉托斯特尼筛法,该算法的…

看一个数是否为质数,我们通常会用那个O(√N)的算法来做,那个算法叫试除法.然而当这个数非常大的时候,这个高增长率的时间复杂度就不够这个数跑了. 为了解决这个问题,我们先来看看费马小定理:若n为素数,a与n互质,则an-1Ξ1(mod n).于是有人想过把它倒过来判断n是否为素数.首先,若a与n不互质,那么n为合数.所以只需要满足an-1Ξ1(mod n)即可,这个a干脆就让它等于2了.即判断2n-1Ξ1(mod n)是否成立.若不成立,那么n必定为合数.但成立时n就是素数吗?又有人找出了个数:…

判断正整数p是否是素数 方法一 朴素的判定   …

基础素数测试模板 对于大数的素性判断,目前Miller-Rabin算法应用最广泛.一般底数仍然是随机选取,但当待测数不太大时,选择测试底数就有一些技巧了.比如,如果 被测数小于4759123141,那么只需要测试三个底数 a[]={2,7,61} 就足够了.当然,测试的越多,正确的范围也越大.如果你每次都用前7个素数 a[]={2,3,5,7,11,13,17} 进行测试,所有不超过341550071728320的数都是正确的.如果选用 a[]={2,3,7,61,24251} 作为底数,那么1…

如何判断一个素是素数 效率很高的筛法 打个表 (素数的倍数一定是合数) 就可以解决问题. 筛选法的效率很高,但是遇到大素数就无能为力了. 米勒罗宾素性测试是一个相当著名的判断是否是素数的算法 核心为费马小定理: 假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p 的余数恒等于1. 逆推一下即p的 a^(p-1)%p !=1 (0<a<p) ,它一定是合数. 如果 a^(p-1)%p ==1 (0<a<p) 则它可能是合数可能是素数.概率算法…

根据费马小定理: 对于素数n,a(0<a<n),a^(n-1)=1(mod n) 如果对于一个<n的正整数a,a^(n-1)!=1(mod n),则n必不是素数. 然后就可以随机生成  <n的数,如果都满足,那n就极有可能是素数. 看书上说,一次素数测试的成功率是 3/4,也就是失败率是1/4,那测m次是错误的概率为:(1/4)^m.可见m稍微大一点就基本不会出错. 但是还有一种数叫,卡迈克尔数. 卡迈克尔数: 一个合数n,对所有满足 gcd(b,n)=1的正整数b都有b^(n-1…

题目大意 给你一个非常大的整数,判断它是不是素数,如果不是则输出它的最小的因子 题解 看了一整天<初等数论及其应用>相关部分,终于把Miller–Rabin和Pollard's rho这两个算法看懂了O(∩_∩)O~~ Miller–Rabin主要用到了费马小定理,即:设p是一个素数,a是一个正整数且p不整除a,则ap-1≡1(mod p).若x=b(n-1)/2,x2=bn-1≡1(mod n),如果n是一个素数,则x≡1(mod n)或者x≡-1(mod n).因此,一旦我们有bn-1≡1…

一.RSA与公钥加密系统的起源与影响. 为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势,让我们从这两个问题开始: 这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢?全用私钥加密系统会出现什么问题呢? 首先,私钥密码系统中的密码,加密解密之间是存在共享性的,也就是说,会加密就能做到会解密,会解密也就能做到会加密. 如果私钥密码系统用来做数字签名,会发生什么呢?你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法(解密),就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法(加密).瞬间爆炸Orz. 其次,私钥加密系统需要有一…

何为Miller Rabin算法 首先看一下度娘的解释(如果你懒得读直接跳过就可以反正也没啥乱用:joy:) Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法,在构建密码安全体系中占有重要的地位.通过比较各种素数测试算法和对Miller-Rabin算法进行的仔细研究,证明在计算机中构建密码安全体系时, Miller-Rabin算法是完成素数测试的最佳选择.通过对Miller-Rabin 算 法底层运算的优化,可以取得较以往实现更好的性能.[1]  随着信息技术的发展.网络的普及和电…

在以往判断一个数n是不是素数时,我们都是采用i从2到sqrt(n)能否整除n.如果能整除,则n是合数;否则是素数.但是该算法的时间复杂度为O(sqrt(n)),当n较大时,时间性能很差,特别是在网络安全和密码学上一般都是需要很大的素数.而从目前来看,确定性算法判断素数的性能都不好,所以可以用MC概率算法来解决,其中Miller Rabin算法就是其中的很经典的解决方法.下面首先介绍下相关的数学理论. 数学原理 Fermat小定理:若n是素数,则对所有1≤a≤n-1的整数a,有a^(n-1)mod…

定义: Miller Rabin算法是一个随机化素数测试算法,作用是判断一个数是否是素数,且只要你脸不黑以及常数不要巨大一般来讲都比\(O(\sqrt n)\)的朴素做法更快. 定理: Miller Rabin主要基于费马小定理: \[a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)\]其中\(p\)是质数. 于是就有闲得没事干的一群科学家们想,这个问题的逆命题是否成立呢? 逆命题:若对于任意\(a\),\(a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)\)都成立,那么\(p\)是质数…

在做这道题之前,我们首先来尝试签到题. 签到题 我们定义一个函数:\(qiandao(x)\) 为小于等于 x 的数中与 x 不互质的数的个数.要求 \(\sum\limits _{i=l}^r qiandao(i)\) 容易发现 \(qiandao(x)\) 只需求 \(\phi(x)\),不互质的个数就是另外一半. 那么问题转化为了如何筛出区间 \(\phi\) 的值.考虑到值域最大只有 \(1e12\).并且区间长度小于一百万,所以可以尝试筛根号以内素数求解. 我们知道欧拉函数计算公式为…

/* 题目:给出一个数 如果是prime 输出prime 否则输出他的最小质因子 Miller Rabin +Poller Rho 大素数判定+大数找质因子 后面这个算法嘛 基于Birthday Paradox 简单点说就是 在 1到100 内去一个数 ai ai==42的概率很小 但是如果取两个数 ai bi ai-bi==42 的概率就会变大 应用到找素因子上 就不用像试除法那样一个一个的试 但是如果枚举ai bi 显然也很slow 那么有一个非常好使(奇怪)的函数 f(x)=x*x+c 这…

题目链接:http://poj.org/problem?id=1811 题目解析:2<=n<2^54,如果n是素数直接输出,否则求N的最小质因数. 求大整数最小质因数的算法没看懂,不打算看了,直接贴代码,以后当模版用. 数据比较大,只能先用Miller_Rabin算法进行素数判断. 在用Pollard_rho分解因子.   #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include…

伪素数: 如果存在和n互素的正整数a满足a^(n-1)≡1(mod n),则n是基于a的伪素数. 是伪素数但不是素数的个数是非常非常少的,所以如果一个数是伪素数,那么他几乎是素数. Miller_Rabbin素数测试:随机选k个a进行a^(n-1)≡1(mod n)测试,如果都满足则判断n是素数. a^(n-1)%mod用快速幂计算.对于大数相乘(两个大于int的数相乘),中间结果可能溢出,所以需要用快速幂思想进行乘法取模. Miller_Rabbin的出错率为2^(-k). //Miller…

引语:在数论中,对于素数的研究一直就很多,素数测试的方法也是非常多,如埃式筛法,6N±1法,或者直接暴力判(试除法).但是如果要判断比较大的数是否为素数,那么传统的试除法和筛法都不再适用.所以我们需要学习Miller_Rabin算法. 知识准备 + 算法推导: 1.威尔逊定理:若p是素数,则 (p-1) !≡ -1(mod p). 2.有趣的是,威尔逊定理的逆命题也是正确的:设n是正整数且 n ≥ 2 ,若 (n-1) !≡ -1(mod n),则n 是素数. 很多朋友可能在学习的时候会碰到威尔…

0.1 一些闲话 最近一次更新是在2019年11月12日.之前的文章有很多问题:当我把我的代码交到LOJ上,发现只有60多分.我调了一个晚上,尝试用{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 61, 24251, 2147483647, 998244353}这么一大串数作为基底,然后左改右改,总算过去了.特别感谢 @骗分过样例 的提醒,现在张贴的代码应该是值得信赖的了. 之前我的同学好像就指出过我的文章的很多问题.比如说我之前写到,Miller Rabin在…

朴素素数测试是O(x1/2)的,每一个数都测试下来就炸了 然而如果全部预处理的话才是做大死,时间空间各种炸(大约有1亿个数) 所以怎么平衡一下呢? 其实在预处理的时候可以只处理一半:把21474836471/2内的质数全部预处理出来(这些就是要用的全部质数),然后用这些质数线性筛一筛就能得到正解 = = 没了? 没了. 还是要吐槽一下数论题目虽然代码.题解都很好写,但我不相信我能在赛场上想到正解... #include <cstdio> #include <iostream> #d…

编者按:本文翻译自 Andrei Bondarev 在 Medium 上发布的"A/B Testing your AngularJS Templates ",Andrei 是一名工程师,终身学习者. 如果你想对单页面应用程序模板进行A/B测试,创建一个干净的可扩展的解决方案非常重要,而不是用条件语言让模板更混乱,因此: 一个干净的替代方法是为每个变量创建单独的模板,这样代码能更容易地管理和跟踪变量的特定错误. 在这个案例里,我们后端使用 Rails ,框架用 split 来驱动试验.在…

Prime Test Time Limit: 6000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29046   Accepted: 7342 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the…

题目大意 给定两个数a,b的GCD和LCM,要求你求出a+b最小的a,b 题解 GCD(a,b)=G GCD(a/G,b/G)=1 LCM(a/G,b/G)=a/G*b/G=a*b/G^2=L/G 这样的话我们只要对L/G进行质因数分解,找出最接近√(L/G)的因子p,最终结果就是a=p*G,b=L/p,对(L/G)就是套用Miller–Rabin和Pollard's rho了,刚开始Pollard's rho用的函数也是 f(x)=x^2+1,然后死循环了....改成f(x)=x^2+c(c<…

\(Miller Rabin\)总结: 这是一个很高效的判断质数的方法,可以在用\(O(logn)\) 的复杂度快速判断一个数是否是质数.它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法. 费马小定理判质数: \(a^{p-1}\equiv1\mod p\) 这个定理在p为质数的时候是成立的,所以我们可以如果要判断p是否是质数,可以\(rand\)几个a值然后照着这个式子来算,如果算出来不是1那说明p一定不是质数. 但在我们的自然数中,如果照着这个式子算出来的答案为1,也是有可能不是质…

Senior PanⅡ Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others) Problem Description Senior Pan had just failed in his math exam, and he can only prepare to make up for it. So he began a daily task with Master Dong, D…