欧拉路和欧拉圈,简言之就是,从无向图的一个结点出发,走一条路/圈,每条边恰好经过一次,即一笔画问题 欧拉定理:一个无向图最多只有两个奇结点,那么我们就从一个奇结点出发,到另一个结点为之,一定有一条欧拉路. 无向图:最多只能有两个奇节点的图则可判定为有欧拉路 有向图:最多只能有两个结点的入度和出度不相同,必须其中一个结点的入度比出度大1(终点),另一个结点的出度比入度大1(起点),且其无向图(即底图)是连通的. 应用: 判定欧拉路/圈的有无:根据底图的连通性+结点的度数判定,其中连通性的判定可使用…

欧拉图 本文链接:http://www.cnblogs.com/Ash-ly/p/5397702.html 定义: 欧拉回路:图G的一个回路,如果恰通过图G的每一条边,则该回路称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图.欧拉图就是从图上的一点出发,经过所有边且只能经过一次,最终回到起点的路径. 欧拉通路:即可以不回到起点,但是必须经过每一条边,且只能一次.也叫"一笔画"问题. 性质: 欧拉回路:一个欧拉回路,删掉一个点,仍然是一个欧拉回路.从一个欧拉回路拖走一个小欧拉回路,结果也是一个欧…

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题意:好多木棒,俩端有数字(0--6)标记,按数字相同的端首尾相连成一条直线(木棒可以相同).即求有重边的无向图欧拉迹. 先判定是否为欧拉图,俩个条件,不说了.如果是欧拉图,输出路经. 方法:dfs遍历边,回溯时候记录边,遍历过了就标记"双向边". 那么所记录的恰好是一条逆欧拉迹.不可以前进的时候标记,原因:有可能一笔画失败,导致边不连续, 而回溯的时候记录,原因较复杂,大致证明如下: 分几种情况讨论即可: 1,只有偶数结点.任选一个点,必然从一条出发回到该点,直到无边为止,回溯时边自…

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=42 一笔画问题 时间限制:3000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:4 描述 zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏,其中就包括画一笔画,他想请你帮他写一个程序,判断一个图是否能够用一笔画下来. 规定,所有的边都只能画一次,不能重复画. 输入 第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数. 每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000),分别表…

图(无向图或有向图)中恰好通过所有边一次且经过所有顶点的的通路成为欧拉通路,图中恰好通过所有边一次且经过所有顶点的回路称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图,具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图. 规定平凡图(只有一个点)是欧拉图. 性质与定理: 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且没有奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度顶点. 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点恰有两个奇度顶点. 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单连通的且每个顶点入度等于出度. 显然,…

GCD 题意:输入N,M(2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), 设1<=X<=N,求使gcd(X,N)>=M的X的个数.  (文末有题) 知识点:   欧拉函数.http://www.cnblogs.com/shentr/p/5317442.html 题解一: 当M==1时,显然答案为N. 当M!=1.  X是N的因子的倍数是 gcd(X,N)>1 && X<=N 的充要条件.so  先把N素因子分解, N=     …

2705: [SDOI2012]Longge的问题 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2553  Solved: 1565[Submit][Status][Discuss] Description Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题.现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N). Input 一个整数,为N. Output 一个整数,为所求的答案. Sample Inp…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2…

欧拉法的来源 在数学和计算机科学中,欧拉方法(Euler method)命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉,是一种一阶数值方法,用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解.它是一种解决常微分方程数值积分的最基本的一类显型方法(Explicit method). [编辑] 什么是欧拉法 欧拉法是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法.——流场法 它不直接追究质点的运动过程,而是以充满运动液体质点的空间——流场为对象.研究各时刻质点在流场中的变化规律.将个别流体质点运动过…

题目:http://cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=2533 这道题考察打表观察规律. 发现对f的定义实际是递归式的 f(n,k) = f(0,f(n-1,k)) f(0,k) = balabalabalabala 所以,实际上的f(n,k)是这么个东西 f(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,k)))))))) 直接递归求解并打出表来,我们可以发现这样的事实 f(0,k) = k+1 所以有f(n,k) = n + k + 1; 所以题目就转…

Farey Sequence 题意:给定一个数n,求在[1,n]这个范围内两两互质的数的个数.(转化为给定一个数n,比n小且与n互质的数的个数) 知识点: 欧拉函数: 普通求法: int Euler(int n) { int ans=n; for(int i=0;i<cnt&&prime[i]<=n;i++) { if(n%prime[i]==0) { ans=ans-ans/prime[i]; while(n%prime[i]==0) n/=prime[i]; } } if(…

51Nod: http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1136 1136 欧拉函数 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题   对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质.  …

原题:http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2112 首先是,票上没有提到的点是不需要去的. 然后我们先考虑这个图有几个连通分量,我们可以用一个并查集来维护,假设有n个连通分量,我们就需要n-1条边把他们连起来. 最后对于每个联通分量来说,我们要使它能一次走完,就是要求他是否满足欧拉通路,也就是这个联通分量中至多有2个度为奇数的点,每多出2个度为奇数的点,就多需要一条边(因为单个连通分量的所有点的度数之和为偶数,所以不可能存在奇数个奇数度数的点). #inc…

欧拉函数的作用: 有[1,2.....n]这样一个集合,f(n)=这个集合中与n互质的元素的个数.欧拉函数描述了一些列与这个f(n)有关的一些性质,如下: 1.令p为一个素数,n = p ^ k,则   f(n) = p ^ k - p ^ (k-1) 2.令m,n互质,则   f(m*n) = f(m) * f(n) 3.如果n为奇数,则    f(2 * n) = f(n) 下面给出一个例题的代码,例题链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=…

题意:给n个字符串(3<=n<=1000),当字符串str[i]的尾字符与str[j]的首字符一样时,可用dot连接.判断用所有字符串一次且仅一次,连接成一串.若可以,输出答案的最小字典序(dot是最小字典序的,比‘a'小). 显然就是以26个字母为结点,n个字符串为边,求解有向图的欧拉通路. 不过这里要注意,26个字母不一定都用上. 先判断有向图的欧拉通路的条件是否成立: 1.有一个结点入度等于出度+1且有一个结点出度等于入度+1且其他结点入度等于出度.(或所有结点入度等于出度) 2.有向图…

输入n(1<=n<=6),输出长度为10^n + n -1 的字符串答案. 其中,字符串以每n个为一组,使得所有组都互不相同,且输出的字符串要求字典序最小. 显然a[01...(n-1)]和a[12...n]为相邻组,可以看做有一条边从结点a[01...(n-1)]到结点a[12...n]. 题目转化成求欧拉通路.如果以每组的值为结点,则有10^6个结点,10^7条边.会MLE.(此时其实是哈密顿通路?) 这里以每组的值为边的边权,而边的2个结点分别是前n-1位数和后n-1位数.这样点是10^…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1298 题意:给你两个数 n, p,表示一个数是由前 k 个素数组成的,共有 n 个素数,然后求这样的所有的数的欧拉和: 例如 n = 3, p=2; 前两个素数是2,3, 然后因为n=3,所以要再选一个素数组成一个数,有两种选择2*3*2=12 和 2*3*3=18 结果就是Φ(12)+Φ(18) = 10; 我们可以用dp[i][j] 表示前 j 个素数中选择 i 个的结果,Φ[n…

摘要:最近是不适合写代码么?忘记初始化wa到死<_=_=_>.唔--最近在学习图论,从基础搞起,先搞了拓扑排序和欧拉(回)路. Part 0. 拓扑排序 ==挖坑== Part 1. 欧拉(回)路 先判连通性 欧拉回路: 有向图:每个顶点入度等于出度 无向图:每个顶点度数都为偶数 欧拉路: 有向图:每个顶点入度等于出度,或者,一个顶点入度比出度大一,一个顶点入度比出度小一(起点),其余顶点入度等于出度 无向图:每个顶点度数都为偶数,或者,只有两个顶点度数为奇数 HDU 3018 Ant Tri…

Description   Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000). Input There are multiply testcases. Each testcase, there is one line contains three integers A, B and C, separated by a sin…

Description has only two SentencesTime Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 852 Accepted Submission(s): 259 Problem Descriptionan = X*an-1 + Y and Y mod (X-1) = 0.Your task is to calculate th…

欧拉筛模板题 #include<cstdio> using namespace std; const int N=40003; int num=0,prime[N],phi[N]; bool notp[N]; inline void shai(int n){ phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if (!notp[i]){ prime[++num]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=num&&i*prime…

通式: $\phi(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$ 若n是质数p的k次幂:$\phi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质. 设n为正整数,以$\phi(n)$表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数. 欧拉函数是积性函数——若m,n互质, $\p…

A - Bi-shoe and Phi-shoe Time Limit:2000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%lld & %llu Submit Status Practice LightOJ 1370 Appoint description:  System Crawler  (2016-07-08) Description Bamboo Pole-vault is a massively popular sport in X…

1040 最大公约数之和 题目来源: rihkddd 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题  收藏  关注 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6 1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15   Input 1个数N(N <= 10^9) Output 公约数之和 Input示例 6 Output示例 15 思路: 目的是求∑(i= 1,n) gcd( i , n ): gc…

1441 士兵的数字游戏 题目来源: CodeForces 基准时间限制:6 秒 空间限制:131072 KB 分值: 40 难度:4级算法题  收藏  关注 两个士兵正在玩一个游戏,游戏开始的时候,第一个士兵为第二个士兵选一个正整数n.然后第二个士兵要玩尽可能多的轮数.每一轮要选择一个正整数x>1,且n要是x的倍数,然后用n/x去代替n.当n变成1的时候,游戏就结束了,第二个士兵所得的分数就是他玩游戏的轮数. 为了使游戏更加有趣,第一个士兵用 a! / b! 来表示n.k!表示把所有1到k的数…

R - M斐波那契数列 Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 4549 Appoint description:  System Crawler  (2016-04-24) Description M斐波那契数列F[n]是一种整数数列,它的定义如下: F[0] = a F[1] = b F[n] = F[n-1] * F[n-2…

题意 求$ \sum_{i=1}^n gcd(i,n) $ 给定 $n(1\le n\le 2^{32}) $. 链接 题解 欧拉函数 $φ(x)$ :1到x-1有几个和x互质的数. gcd(i,n)必定是n的一个约数. 若p是n的约数,那么gcd(i,n)==p的有$φ(n/p)$个数,因为要使gcd(i,n)==p,i/p和n/p必须是互质的. 那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个,就等价于 1/p,2/p,...,n/p 里面有几个和n/p互质,即φ(n/p). 求和的话,…

这题满满的黑科技orz 题意:给出L,要求求出最小的全部由8组成的数(eg: 8,88,888,8888,88888,.......),且这个数是L的倍数 sol:全部由8组成的数可以这样表示:((10^x)-1)*(8/9) 那么有m=((10^x)-1)*(8/9)=k*L,answer即满足条件的最小的x 性质1:若ax=by且a和b互质,那么说明a中没有任何b的质因子,b的质因子一定都在x里.所以x是b的倍数. 所以先想方设法在等式中构造两个互质的数以便化简.我们取p=8/gcd(8,L…

题意:给出N,求所有满足i<j<=N的gcd(i,j)之和 这题去年做过一次... 设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+......+gcd(n-1,n),那么answer=S[N]=f(1)+f(2)+...+f(N). 先求出每一个f(n). 令g(n,i)=[满足gcd(x,n)=i且x<N的x的数量],i是n的约数 那么f(n)=sigma[i*g(n,i)] (i即gcd的值,g(n,i)为数量) 又注意到gcd(x,n)=i -> gcd(x/i,n/i)=…