题意:求 解: 最后一步转化是因为phi * I = Id,故Id * miu = phi 第二步是反演,中间省略了几步... 然后就这样A了......最终式子是个整除分块,后面用杜教筛求一下phi前缀和即可. #include <cstdio> #include <map> typedef long long LL; , T = ; ; int p[N], top, phi[N]; LL Phi[N], inv2; bool vis[N]; std::map<LL, LL…

题面 传送门 题解 我好像做过这题-- \[ \begin{align} ans &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\left\lfloor{n\over d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor{n\over d}\right\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum_{d=1}^nd\left(\varphi({\left\l…

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)\\$ $=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}\varepsilon(gcd(i,j))$ $=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{g=1}^{n/d}\mu(g)\cdot (n/d/t)^{2}$ $=\sum_{T=1}^{n}(n/T)^{2}\sum_{d|T}\mu(T/d)\cdot d$ $=\sum_{T=1}^{n}(n/T)^2\cdo…

1237 最大公约数之和 V3 题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\) 令\(A(n)=\sum_{i=1}^n(n,i) = \sum_{d\mid n}d \cdot \varphi(\frac{n}{d})\) \(ans = 2*\sum_{i=1}^n A(i) -\sum_{i=1}^ni\) 套路推♂倒 \[ S(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d \cdot \varphi(\frac{i}{d}) =\sum_{i…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1237 [题目大意] 求[1,n][1,n]最大公约数之和 [题解] 枚举最大公约数k,得到答案为2*∑(k*phi_sum(n/k))-n*(n+1)/2 phi_sum可以利用杜教筛实现 [代码] #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef lon…

求∑1<=i<=n∑1<=j<=ngcd(i,j) % P P = 10^9 + 7 2 <= n <= 10^10 这道题,明显就是杜教筛 推一下公式: 利用∑d|nphi(d) = n ans = ∑1<=i<=n∑1<=j<=n∑d|(i,j)phi(d) = ∑1<=d<=n∑1<=i<=n∑1<=j<=n[d|(i,j)]phi(d) = ∑1<=d<=nphi(d)∑1<=i<…

题目链接 题意 其实就是求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ngcd(i,j)\] 思路 建议先看一下此题的一个弱化版 推一下式子 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ngcd(i,j)\] \[= \sum\limits_{k=1}^nk\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,j)=k]\] \[=\sum\limits_{k=1}^nk\sum\limit…

题目链接 \(Description\) \(n\leq 10^{10}\),求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\ mod\ (1e9+7)\] \(Solution\) 首先 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\] 注意不是\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\sum…

题目传送门 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1237 数学题真是做的又爽又痛苦,爽在于只要推出来公式基本上就是AC,痛苦就在于推公式... 题意很简单,求 $\Large\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}gcd(i,j)$ 其中$n\le 10^{10}$ 这个题有很多做法,除了普及组的$O(n^2\log n)$做法,还有用莫比乌斯反演+分块优化的$O(…

用mu写lcm那道卡常卡成狗(然而最后也没卡过去,于是写一下gcd冷静一下 首先推一下式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}[gcd(i,j)==d]d \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \] \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left…