题面: 为了排解心中的怒气,她造了大量的稻草人来发泄.每天付公主都会把一些稻草人摆成一个R∗C的矩形,矩形的每个方格上都有一个稻草人.然后她站在这个矩形的左上角,向矩形的右下角射箭.付公主的箭术过人,她能穿透任意多的稻草人.弓箭经过的方格上的稻草人难逃厄运,报废掉了.看着被毁坏的稻草人,付公主开心了一些. 但是制造稻草人需要大量的金钱,所以付公主不希望坏掉太多的稻草人,所以她每天都选择毁坏掉N个稻草人.付公主还是个喜新厌旧的人,她希望每天能看到一种不同的稻草人摆放矩形.矩形是可以旋转的,即R∗C…

P4388 付公主的矩形 前置芝士 \(gcd\)与欧拉函数 要求对其应用于性质比较熟,否则建议左转百度 思路 有\(n×m\)的矩阵,题目要求对角线经过的格子有\(N\)个, 设函数\(f(x,y)\)为矩阵\((x,y)\)对角线经过的格子 设\(gcd(n,m)=1\),对角线在矩形中不会经过任意一个格点,\(f(n,m)=n+m-1\) 那\(gcd(n,m)!=1\)呢?将这个矩阵拆除\(gcd(n,m)\)个相同的矩阵 其中\(gcd(n',m')=1\),则\(\dfrac{n}{…

18.09.09模拟赛T1. 一道数学题. 题目传送门 首先把对角线当成是某个点的移动轨迹,从左下到右上. 那么这个点每上升一个单位长度,就穿过一个格子. 每右移一个单位长度,也会穿过一个格子. 例外:穿过格点,会减少穿过的格子数. 初步的结论:R*C的矩形,对角线穿过的格子数N=R+C-gcd(R,C). 那么我们只需算出这个方程的解的个数. 可以看出,R.C和gcd(R,C)都是gcd(R,C)的倍数. 那么N显然也是. 设N/gcd(R,C)=n,R/gcd(R,C)=r,C/gcd(R,…

还是挺妙的. 发现对于一个$r$行$c$列的矩阵,穿过的格子数$n = r + c - gcd(r, c)$,题目中其实给定了这个$n$,要我们计算满足这个式子的$r$和$c$的个数. 发现$n$一定要是$gcd(r, c)$的倍数,等式两边可以除掉这个$gcd(r, c)$,变成$n' = r' + c' - 1$. 那么这时候$gcd(r', c') = gcd(n' + 1 - r', c') = 1$. 根据辗转相减法,有$gcd(n' + 1, c') = 1$,而满足这个式子的$c'…

P4389 付公主的背包 题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装\(10^5\)大小的东西 付公主有\(n\)种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为\(V_i\),都有\(10^5\)件 给定\(m\),对于\(s\in [1,m]\),请你回答用这些商品恰好装\(s\)体积的方案数 输入输出格式 输入格式: 第一行\(n,m\) 第二行\(V_1\sim V_n\) 输出格式: \(m\)行,第\(i\)行代表\(s=i\)时方案数,对\(998244353\)取…

题目背景 付公主有一个可爱的背包qwq 题目描述 这个背包最多可以装10^5105大小的东西 付公主有n种商品,她要准备出摊了 每种商品体积为Vi,都有10^5105件 给定m,对于s\in [1,m]s∈[1,m],请你回答用这些商品恰好装s体积的方案数 输入输出格式 输入格式: 第一行n,m 第二行V1~Vn 输出格式: m行,第i行代表s=i时方案数,对998244353取模 输入输出样例 输入样例#1: 2 4 1 2 输出样例#1: 1 2 2 3 说明 对于30%的数据,n<=300…

题目链接戳这里 题目描述 有\(n\)件不同的商品,每件物品都有无限个,输出总体积为\([1,m]\)的方案数 思路 直接跑背包有\(30\) 考虑把每个物品的生成函数设出来,对于一件体积为\(v\)的物品: \[f(x)=1+x^v+x^{2v}+\cdots +x^{kv}+\cdots \] 那么答案\(F(x)\)就是每个物品的\(f\)卷起来: \[F(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}f_i(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x^…

注意 初始化的时候要这样写 for(int i=1,x;i<=n;i++){ scanf("%d",&x); v[x]++; } for(int i=1;i<=m;i++){ if(v[i]){ for(int j=1;j<=m/i;j++) a[i*j]=(a[i*j]+1LL*v[i]*invx[j]%MOD)%MOD; } } 这样写的复杂度是调和级数(\(O(n\log n)\)) 不能这样写 for(int i=1;i<=n;i++){ sca…

显然构造出生成函数,对体积v的物品,生成函数为1+xv+x2v+……=1/(1-xv).将所有生成函数乘起来得到的多项式即为答案,设为F(x),即F(x)=1/∏(1-xvi).但这个多项式的项数是Σvi级别的,无法直接分治FFT卷起来. 我们要降低多项式的次数,于是考虑取对数,化乘为加,得到lnF(x)=-Σln(1-xvi).只要对每个多项式求出ln加起来再exp回去即可. 考虑怎么对这个特殊形式的多项式求ln.对ln(1-xv)求导,得ln(1-xv)'=(1-xv)'/(1-xv)=-v…

传送门 神仙题鸭!orz dkw 暴力就是完全背包 而完全背包可以和生成函数扯上关系,记第i种物品质量为\(a_i\),那么这种物品的生成函数\(G(i)=\sum_{j=0}^{\infty}x^{a_ij}\),最后体积为i的答案即为这n个生成函数的卷积的第i项系数 然而用卷积复杂度为\(O(mnlogm)\),还不如暴力.说道卷积,我就想起了可以把多项式先求\(ln\),然后加起来,最后求\(exp\).只不过每个函数求\(ln\)复杂度还是不行,我们打表发现\(lnG(i)=\sum_{…