题目大意 定义复数\(a+bi\)为整数\(k\)的约数,当且仅当\(a\)和\(b\)为整数且存在整数\(c\)和\(d\)满足\((a+bi)(c+di)=k\). 定义复数\(a+bi\)的实部为\(a\),虚部为\(b\). 定义\(f(n)\)为整数\(n\)的所有实部大于\(0\)的约数的实部之和. 给定正整数\(n\),求出\(\sum_{i=1}^nf(i)\)对\(1004535809\)取模后得到的值. \(n\leq {10}^{10}\) 题解 以前看到一个数论题就是反演…

题面 设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN,求 ∑i=1N∑j=1Nd(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{N}_{j=1} d(ij)i=1∑N​j=1∑N​d(ij) N<=109N<=10^9N<=109 题目分析 有这样一个结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​[(x,y)==1]这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明…

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000…

题面: 传送门 思路: 首先我们把区间缩小到$\left[\lfloor\frac{L-1}{K}\rfloor,\lfloor\frac{R}{K}\rfloor\right]$ 这道题的最特殊的点在于,他的gcd不是两个数的而是多个数的,是一坨sigma 但是,我们发现它依然可以反演 令$f\left(i\right)$为区间$\left[l,r\right]$内选出$n$个数,总计$gcd=i$的方法数 令$g\left(i\right)$为区间$\left[l,r\right]$内选出$…

题目描述 求∑i=1n∑j=1n(i,j) mod (1e9+7)n<=1010\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)~mod~(1e9+7)\\n<=10^{10}i=1∑n​j=1∑n​(i,j) mod (1e9+7)n<=1010 题目分析 乍一看十分像裸莫比乌斯反演,然而nnn的范围让人望而却步 于是先变化一下式子 Ans=∑i=1n∑j=1n(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)Ans=i=1∑n​j=1∑n​(i,j…

题目大意: 读入n. 第一行输出“1”(不带引号). 第二行输出$\sum_{i=1}^n i\phi(i)$. 题解: 所以说那个$\sum\mu$是在开玩笑么=.= 设$f(n)=n\phi(n),F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$. 设$g=(f*id)$,则$g(n)=\sum_{d|n}id(\frac{n}{d})f(d)=n^2$. 设$G(n)=\sum_{i=1}^n g(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 同时将$G$完全展开我们得到: $G…

题面 传送门 题解 嗯--还是懒得写了--这里 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define IT map<int,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u]…

求$$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$$,其中$f(x)$表示$x$的约数个数,$0\leq n\leq 10^9$,答案膜$10^9+7$ 题解 首先有个妙不可言(被hjw污染了)的结论:$$f(nm)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[gcd(i,j)=1]$$ 证明:咕 那么大力推一波式子: $$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$…

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…