P4128 [SHOI2006]有色图 题目描述 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图.如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的.以下两张图就是同构的,因为假如你把第一张图的顶点\((1,2,3,4)\)置换成第二张图的\((4,3,2,1)\),就会发现它们是一样的. 你的任务是,对于计算所有顶点数为\(n\),颜色种类不超…

题目传送门:洛谷 P4128. 计数好题,原来是 13 年前就出现了经典套路啊.这题在当年应该很难吧. 题意简述: \(n\) 个点的完全图,点没有颜色,边有 \(m\) 种颜色,问本质不同的图的数量对质数 \(p>n\) 取模. 本质不同指的是在点的 \(n!\) 种不同置换下不同. 题解: 首先有 \(\mathrm{P\acute{o}lya}\) 定理:一类元素在一个置换群的作用下本质不同的元素(不同等价类)个数等于 \(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}M(g)\).…

Description 给一张 \(n\) 个点的无向完全图,同时还有 \(m\) 种颜色.要求给每条边染色,问有多少种不同的染色方案.两种方案不同当且仅当顶点标号任意重排后不同.\(n\leq 53\). Solution 好吧上课讲的题我还研究了一整个二晚的题解 上课睡觉就是不应该 首先这题要求边的不同染色方案,如果要用 \(burnside\) 或者 \(polya\) 那一套的话需要求边的置换,但是判断方案是否相同又是点的置换.好吧我们考虑点的置换看看在中间能不能统计出来边的置换的方案数…

置换数量是阶乘级别的,但容易发现本质不同的点的置换数量仅仅是n的整数拆分个数,OEIS(或者写个dp或者暴力)一下会发现不是很大,当n=53时约在3e5左右. 于是暴力枚举点的置换,并且发现根据点的置换我们得到的实际上是边的置换,暴力数一下循环节就好了.3e5*50*50,luogu上过掉了.诶怎么bzoj上开的时限总共只有4s啊? 考虑数边置换的循环节时不那么暴力.显然两端点在同一循环内的边和在不同循环内的边是不可能处于同一边的循环的,并且第一种情况只与该循环长度有关,第二种情况只与两循环长度…

传送门 数学渣渣看题解看得想死Ծ‸Ծ 首先发现这玩意儿看着很像polya定理 \[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i\in G}m^{w(i)}\] 然而polya定理只能用来求点的置换,边的置换是布星的 于是我们考虑一个点的置换,把它写成若干循环的乘积\((a_1,a_2,..)(b_1,b_2,...)...\) 1.对于不在同一个循环里的点,比方说一条边\((a_1,b_1)\),那么和它在同一个循环的边有\(((a_1,b_1),(a_2,b_2),...)\)设\(a\)的循…

1815: [Shoi2006]color 有色图 Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 136  Solved: 50[Submit][Status] Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output…

BZOJ1815: [Shoi2006]color 有色图 Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output output 1 4 题解Here! 经典Polya计数. 不想再写一遍了,正解戳这里.…

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对…

传送门 题意: 染色图是无向完全图,且每条边可被染成k种颜色中的一种.两个染色图是同构的,当且仅当可以改变一个图的顶点的编号,使得两个染色图完全相同.问N个顶点,k种颜色,本质不同的染色图个数(模质数N≤53,P<109). 想了一节课和一中午又看了课件 相同类型的循环合并的想法很巧妙 首先,点的置换对应唯一边的置换,我们可以枚举所有点的置换,找出每个置换下边置换的循环有多少个,然后套$Polya$公式 但是复杂度带叹号 我们发现,很多点置换类型是一样的,我们可以对$n$搜索划分来枚举点置换的类…

题意 用 \(m\) 种颜色,给 \(n\) 个点的无向完全图的 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 条边染色,两种方案相同当且仅当一种方案交换一些点的编号后可以变成另一种方案.问有多少本质不同的染色方案. \(n\le 53, m\le 1000, n<mod\le 10^9\) 且 \(mod\) 为质数. 分析 考虑 \(Polya​\) 定理. 假设已经枚举了一个点置换(对应唯一一种边置换),能否快速求出对应边的置换的循环个数? 对于两个点的循环(设长度分别为 \(l_1,l_2\…