将学习到什么 从 Jordan 标准型出发,能够获得非常有用的信息.   Jordan 矩阵的构造 Jordan 矩阵 \begin{align} J=\begin{bmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ && J_{n_k}(\lambda_k) \end{bmatrix} , \quad n_1+n_2+\cdots+n_k = n \end{align} 有确定的构造,这种构造使得与之相似的任何…

将学习到什么 就算两个矩阵有相同的特征多项式,它们也有可能不相似,那么如何判断两个矩阵是相似的?答案是它们有一样的 Jordan 标准型.   Jordan 标准型定理 这节目的:证明每个复矩阵都与一个本质上唯一的 Jordan 矩阵相似. 分三步证明这个结论.其中前两步已经在其它章节中给出, 第一步 Schur 定理 确保每个复矩阵都相似于一个上三角矩阵,这个上三角矩阵的特征值出现在其对角线上,且相等的特征值放在一起. 第二步 Schur 三角化定理推论 中定理 1.3 确保第一步中所描述的那…

将学习到什么 练习一下如何把一个矩阵化为 Jordan 标准型.   将矩阵化为 Jordan 标准型需要三步: 第一步 求出矩阵 \(A \in M_n\) 全部的特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_t\), 假设有 \(t\) 个不同的特征值 第二步 Jordan 标准型定理 中的推论告诉我们:\(w_k(A,\lambda)-w_{k+1}(A,\lambda)\) 是以 \(\lambda\) 为特征值且阶恰好为 \(k\) 的 Jordan 块的个数. 我们就…

现在就来研究将空间分割为不变子空间的方法,最困难的是我们还不知道从哪里着手.你可能想到从循环子空间出发,一块一块地进行分割,但这个方案的存在性和唯一性都不能解决.不变子空间分割不仅要求每个子空间\(V'\)是不变的,还隐含要求\(V'\)之外元素的像不落在\(V'\)中,这一条就导致从局部开始分割的方案是行不通的.另外,这种方法也无法保障分割的唯一性,因为分割过程依赖每个子空间的选取. 1. 化零多项式 看来还是得从全局出发,期望找到某个属性,它能将空间完美分割.那么首先要将整个空间\(V\)放…

内容概述: 把方阵 A 的特征多项式 \(c(λ)=|λE-A|\) 展开成 \(c(λ)=\sum_ia_i\lambda^i\) 的形式,然后使用神乎其技的证明,得到 \(c(A)=O\),特征多项式是 A 的化零多项式.[Hamilton-Cayley 定理] 定义 A 的最小多项式为 \(m(λ)=\Pi_i(λ-λ_i)^{c_i}\),即次数最低的.能使 m(A)=0 的多项式.显然,m(λ) 是 c(λ) 的因式. 如果 m(λ) 里所有 \(c_i\) 都为零,则 A 可相似对角…

本文转载自陈洪葛的博客$,$ 而实际上来自xida博客朝花夕拾$,$ 可惜该博客已经失效 $\mathrm{Jordan}$ 标准形定理是线性代数中的基本定理$,$ 专门为它写一篇长文好像有点多余$:$ 这方面的教材讲义实在是太多了$!$ 一个陈旧的定理还能写出什么新意来呢$?$理由有两个$.$ 第一个原因是我曾经在给学生讲这个定理的时候$,$ 突然发现不知道该怎么启发学生为好$.$ 虽然我知道 $\mathrm{Jordan}$ 标准形定理的很多种证法$,$ 照念几个不在话下$,$ 但是感觉有…

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将学习到什么 本节讨论关于实矩阵的实形式的 Jordan 标准型,也讨论关于复矩阵的另外一种形式的 Jordan 标准型,因为它在与交换性有关的问题中很有用.   实 Jordan 标准型 假设 \(A \in M_n(\mathbb{R})\), 所以任何非实的特征值必定成对共轭出现,由于结任何 \(\lambda \in \mathbb{C}\), 以及所有 \(k=1,2,\cdots\) 我们有 \(\mathrm{rank} \, (A-\lambda I)^k= \mathrm{ra…

设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $A\in M_n(\mathbb{C})$ 是 $\varphi$ 在某组基下的表示矩阵, 则有线性变换或矩阵的 Jordan 标准型理论. 具体的, 设 $\varphi$ 或 $A$ 的初等因子组为 $(\lambda-\lambda_1)^{r_1}$, $(\lambda-\lambda_2)^{r_2}$, $\cdots$, $(\lambda-\lambda…

一.引入 前面已经指出,一切n阶矩阵A可以分成许多相似类.今要在与A相似的全体矩阵中,找出一个较简单的矩阵来作为相似类的标准形.当然以对角矩阵作为标准形最好,可惜不是每一个矩阵都能与对角矩阵相似.因此,急需引入一种较为简单而且对于一般矩阵都可由相似变换得到. 当矩阵A能相似于某对角矩阵时,该对角矩阵就是A的一个Jordan形.而当矩阵A不能相似于对角矩阵时,它必然与一个非对角的Jordan形相似.此时的Jordan形J与对角矩阵的差别也只是在主对角线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上,Jo…