扩展欧拉定理: \[ a^x \equiv a^{x\mathrm{\ mod\ }\varphi(p) + x \geq \varphi(p) ? \varphi(p) : 0}(\mathrm{\ mod\ }p)\] #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; ll aa, cc; char bb[100000…

链接:E.简单数据结构1 题意: 给一个长为n的序列,m次操作,每次操作: 1.区间加 2.对于区间,查询 ,一直到- 请注意每次的模数不同.   题解:扩展欧拉定理降幂 对一个数p取log(p)次的欧拉函数等于1,故可将操作2的复杂度降到log(p),可以直接求解.用树状数组的小技巧,可以在log的时间直接求出当前的a[i].具体见代码. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; const int INF = 0x3f3f3f3f; ;…

题目链接: https://cn.vjudge.net/problem/FZU-1759 题目大意: 求A^B%C 解题思路: 注意,这里long long需要用%I64读入,不能用%lld #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; ; int euler_phi(int n)…

题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884 分析 扩展欧拉定理裸题 欧拉定理及证明: 如果\((a,m)=1\),则\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m\) \(Prove:\)设\(x\)取遍\(m\)的缩系,则\(ax\)取遍\(m\)的缩系,即 \[\prod x = \prod ax \mod m\] 因为这样的\(a\)有\(\phi(m)\)个 \[\prod x = \prod x *a…

Problem 1759 Super A^B mod C Accept: 878    Submit: 2870 Time Limit: 1000 mSec    Memory Limit : 32768 KB  Problem Description Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000).  Input The…

题目大意 让你求\(2^{2^{2^{\cdots}}}(mod)P\)的值. 前置知识 知识1:无限次幂怎么解决 让我们先来看一道全国数学竞赛的一道水题: 让你求解:\(x^{x^{x^{\cdots}}}=2\)方程的解. 对于上面的无限次幂,我们可以把这个式子移上去,得到了\(x^{2}=2\). 因为指数的原因,所以我们可以直接得到了\(x=\sqrt{2}\). 以上的问题,启示我们对于这一些无限次幂可以转移来解决. 以上的东西可能用不到 知识2:欧拉定理和扩展欧拉定理 详细请出门左拐…

\(Description\) 给定p, \(Solution\) 欧拉定理:\(若(a,p)=1\),则\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)}(mod\ p)\). 扩展欧拉定理:\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)}(mod\ p)\) (a为任意整数,b,p为正整数,且\(b>\varphi(p)\)(a,p不一定要互质).证明. 指数是无穷的,但是模数是有限的,从不断减小p去考虑. 设\(f(p)=2^{2^{2^{...}}…

题意 https://loj.ac/problem/2142 思路 一个数如果要作为指数,那么它不能直接对模数取模,这是常识: 诸如 \(c^{c^{c^{c..}}}\) 的函数递增飞快,不是高精度可以描述的,这也是常识. 所以,此题要用到很多数论知识. 欧拉函数 定义 \(\varphi(n)\) 为 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的正整数个数(包括 \(1\)). 通式 \(\displaystyle \varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-{1\over p})\…

题意:求\(2^{2^{2^{2^{...}}}}\%p\) 题解:可以发现用扩展欧拉定理不需要很多次就能使模数变成1,后面的就不用算了 \(a^b\%c=a^{b\%\phi c} gcd(b,c)==1\) \(a^b\%c=a^{b\%\phi c+\phi c} gcd(b,c)!=1\) //#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize(3) //#pragma GCC optimize(4) //#pragma GCC optimize…

题目链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/142/A 题目描述 A ternary string is a sequence of digits, where each digit is either 0, 1, or 2. Chiaki has a ternary string s which can self-reproduce. Every second, a digit 0 is inserted after every 1 in the str…