题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

题意简述 求出这个式子 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j) \bmod p \] 做法 先用莫比乌斯反演拆一下式子 \[ \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j)&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij[(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\] 答案对\(10^9+7\)取模. \(n<=10^9\) \(Solution\) 以前做的反演题都是\(j\)枚举到\(n\),但是现在\(j\)只枚举到\(i\)就非常难受,考虑怎么求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\). 可以把它看成是一个\(n*n\)的网格,第\(i\…

题目大意:略 洛谷传送门 杜教筛入门题? 以下都是常规套路的变形,不再过多解释 $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$ $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$ $\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

题目描述 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. 输入 输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. 输出 输出一个整数,为…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…

题目描述 求 \[\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} i*j*gcd(i,j) \pmod{p}\] \(n<=10^{10}\),\(p\)是质数 题解 推导很长就省略啦,, 有空补回来 最后推得这个式子: \[\sum\limits_{T = 1}^{n} (\frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor * (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor + 1)}{2})^2 * T^2 * \varphi…

传送门 题意: 统计\(k\)元组个数\((a_1,a_2,\cdots,a_n),1\leq a_i\leq n\)使得\(gcd(a_1,a_2,\cdots,a_k,n)=1\). 定义\(f(n,k)\)为满足要求的\(k\)元组个数,现在要求出\(\sum_{i=1}^n f(i,k),1\leq n\leq 10^9,1\leq k\leq 1000\). 思路: 首先来化简一下式子,题目要求的就是: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1…

点此看题面 大致题意: 让你求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(gcd(i,j))\). 莫比乌斯反演 这种题目,一看就是莫比乌斯反演啊!(连莫比乌斯函数都有) 关于莫比乌斯反演,详见这篇博客:初学莫比乌斯反演. 推式子 下面让我们来推式子. 首先,我们采用解决这种问题的常用套路,来枚举\(gcd\),就能得到这样一个式子: \[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\fra…