ACM数论之旅9---中国剩余定理(CRT)(壮哉我大中华╰(*°▽°*)╯)   中国剩余定理,又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ 能求解什么问题呢? 问题: 一堆物品 3个3个分剩2个 5个5个分剩3个 7个7个分剩2个 问这个物品有多少个 解这题,我们需要构造一个答案 我们需要构造这个答案 5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  1 3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  1 3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  1 这3个式子对不对,别告诉我逆元你忘了(*´∇｀…

ACM数论之旅5---数论四大定理(你怕不怕(☆ﾟ∀ﾟ)老实告诉我)   (本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威尔逊定理 2.欧拉定理 3.孙子定理(中国剩余定理) 4.费马小定理 (提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立) 1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人) 当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 (…

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne…

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称…

中国剩余定理 CRT 正常版本CRT 要解的是一个很容易的东西 \[ \begin{aligned} x\equiv a_1(mod\ m_1)\\ x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod\ m_n) \end{aligned} \] 保证\(m_1,m_2...m_n\)之间两两互质,求最小的\(x\). 设\(M=\prod m_i\). 首先我们确定一点,我们求出了任意一个满足条件的\(x\)之后,只需要对其模\(M\)就是最终的答案.…

随笔 - 20  文章 - 0  评论 - 73 ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现(我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭) https://blog.csdn.net/chen_ze_hua/article/details/53997790 https://blog.csdn.net/qq_40828914/article/details/81775519 欧拉函数,用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么,怎么求哩?~(-o￣▽￣)-o 可以先在1到n-1…

随笔 - 20  文章 - 0  评论 - 73 ACM数论之旅8---组合数(组合大法好(,,• ₃ •,,) )  补充:全错排公式:https://blog.csdn.net/Carey_Lu/article/details/49742129 https://blog.csdn.net/u011345136/article/details/38778121 一道组合数与全错排的公式. 组合数并不陌生(´・ω・`) 我们都学过组合数 会求组合数吗 一般我们用杨辉三角性质 杨辉三角上的每一个数…

ACM数论之旅6---数论倒数,又称逆元(我整个人都倒了(￣﹏￣))   数论倒数,又称逆元(因为我说习惯逆元了,下面我都说逆元) 数论中的倒数是有特别的意义滴 你以为a的倒数在数论中还是1/a吗 (・∀・)哼哼~天真 先来引入求余概念 (a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  (对) (a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  (对) (a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  (对) (a  /  b) % p = (a%p…

中国剩余定理,又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ 能求解什么问题呢? 问题: 一堆物品 3个3个分剩2个 5个5个分剩3个 7个7个分剩2个 问这个物品有多少个 解这题,我们需要构造一个答案 我们需要构造这个答案 5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  1 3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  1 3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  1 这3个式子对不对,别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*),忘了的人请翻阅前几章复习 然后两边同乘你需要的数 2 * 5*7*inv(5*…

记得前几章的组合数吧 我们学了O(n^2)的做法,加上逆元,我们又会了O(n)的做法 现在来了新问题,如果n和m很大呢, 比如求C(n, m) % p  , n<=1e18,m<=1e18,p<=1e5 看到没有,n和m这么大,但是p却很小,我们要利用这个p (数论就是这么无聊的东西,我要是让n=1e100,m=1e100,p=1e100你有本事给我算啊(°□°),还不是一样算不出来) 然后,我们著名的卢卡斯(Lucas)在人群中站了出来(｀･д･´)说:“让老子来教你这题” 卢卡斯说:…

题目描述 在ACM_DIY群中,有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高,被称为数轮之神!对于任何数论问题,他都能瞬间秒杀!一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数!自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的,那么你呢? 输入 第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据,给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <…

(本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威尔逊定理 2.欧拉定理 3.孙子定理(中国剩余定理) 4.费马小定理 (提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立) 1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人) 当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p ) 或者说 若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除 在初等数…

前言:好多学ACM的人都在问我数论的知识(其实我本人分不清数学和数论有什么区别,反正以后有关数学的知识我都扔进数论分类里面好了) 于是我就准备写一个长篇集,把我知道的数论知识和ACM模板都发上来(而且一旦模板有更新,我就直接在博客上改了,所以记得常来看看(.・ω・)) 废话说完了,直接进入正题ヾ(=^▽^=)ノ 素数,又叫质数,定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数 我们通过这个定义,可以写如下程序判断一个数是不是质数 bool prime(int x){//判断x是不是质数,是返回true,…

https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5198832.html 前言:好多学ACM的人都在问我数论的知识(其实我本人分不清数学和数论有什么区别,反正以后有关数学的知识我都扔进数论分类里面好了) 于是我就准备写一个长篇集,把我知道的数论知识和ACM模板都发上来(而且一旦模板有更新,我就直接在博客上改了,所以记得常来看看(.・ω・)) 废话说完了,直接进入正题ヾ(=^▽^=)ノ 素数,又叫质数,定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数 我们通过这个定义,可以写如下程序…

在我们做题中,搜索也好,动态规划也好,我们往往有时候需要用一个数字表示一种状态 比如有8个灯泡排成一排,如果你用0和1表示灯泡的发光情况 那么一排灯泡就可以转换为一个二进制数字了 比如 01100110 = 102 11110000 = 240 10101010 = 170 通过这些十进制数,只要把他们展开,我们就知道灯泡的状态了 如果这题是一个动态规划题 然后我们就拿这些数字做一些转移了, 比如dp[102],dp[240],dp[170]等等 这对题目很有帮助 上面讲的那些就是所谓的状态压缩…

数论倒数,又称逆元(因为我说习惯逆元了,下面我都说逆元) 数论中的倒数是有特别的意义滴 你以为a的倒数在数论中还是1/a吗 (・∀・)哼哼~天真 先来引入求余概念 (a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  (对) (a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  (对) (a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  (对) (a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  (错) 为什么除法错的 证明是对的难,证明错的…

莫比乌斯反演也是反演定理的一种 既然我们已经学了二项式反演定理 那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样,不求甚解,只求会用 莫比乌斯反演长下面这个样子(=・ω・=) d|n,表示n能够整除d,也就是d是n的所有因子 μ(x)是莫比乌斯函数,它是这样计算的 μ(1) = 1 x = p1 * p2 * p3 ……*pk(x由k个不同的质数组成)则μ(x) = (-1)^k 其他情况,μ (x) = 0 比如 30 = 2 * 3 * 5 μ(30) = (-1)^3 4 = 2 * 2 μ(4)…

终于讲到反演定理了,反演定理这种东西记一下公式就好了,反正我是证明不出来的~(-o￣▽￣)-o 首先,著名的反演公式 我先简单的写一下o(￣ヘ￣*o) 比如下面这个公式 f(n) = g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(n) 如果你知道g(x),蓝后你就可以知道f(n)了 如果我知道f(x),我想求g(n)怎么办 这个时候,就有反演定理了 反演定理可以轻松的把上面的公式变为 g(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) 当然,我写的只是个形式…

(前排出售零食瓜子) 前言: 母函数是个很难的东西,难在数学 而ACM中所用的母函数只是母函数的基础 应该说除了不好理解外,其他都是非常简单的 母函数即生成函数,是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具. 但是ACM中的母函数木有像数学那么深究,应用的都是母函数的一些基本 (就好比方程的配方,因式的分解,写起来容易,你用电脑写起来就麻烦了,所以学计算机就不要老跟数学家瞎闹(￣3￣)) 什么是母函数 就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来,新产生的多项式就叫原来序列的母函数 至于怎么合并,…

容斥原理我初中就听老师说过了,不知道你们有没有听过(/≧▽≦)/ 百度百科说: 在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法. 这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复. 这种计数的方法称为容斥原理. 好标准的说法(#-.-) 那我举个简单的例子 两个集合的容斥原理: 设A, B是两个有限集合 那么 |A + B| = |A| + |…

c/c++语言中,关于指数,对数的函数我也就知道那么多 exp(),pow(),sqrt(),log(),log10(), exp(x)就是计算e的x次方,sqrt(x)就是对x开根号 pow()函数可是十分强大的(￣ε￣) pow(a, b)可以算a的b次方,但是b不限于整数,小数也可以 所以pow(x, 0.5)相当于sqrt(x) pow(M_E, x)相当于exp(x)  (M_E就是e) 这是我在math.h发现的可以直接用 #ifdef __STRICT_ANSI__ #undef…

为什么老是碰上 扩展欧几里德算法 ( •̀∀•́ )最讨厌数论了 看来是时候学一学了 度娘百科说: 首先, ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解 (( •̀∀•́ )她说根据数论中的相关定理可以证明,反正我信了) 所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 (废话,把x和y乘k倍就好了) 所以,这个公式我们写作ax+by = d,(gcd(a, b) | d) gcd(a, b) | d,表示d能整除gcd,这个符号在数学上经常见 那么已知 a,b 求 一组解…

度娘百科说: 首先, ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解 (( •̀∀•́ )她说根据数论中的相关定理可以证明,反正我信了) 所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 (废话,把x和y乘k倍就好了) 所以,这个公式我们写作ax+by = d,(gcd(a, b) | d) gcd(a, b) | d,表示d能整除gcd,这个符号在数学上经常见 那么已知 a,b 求 一组解 x,y 满足 ax+by = gcd(a, b) 这个公式 1 #include<cs…

欧拉函数,用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么,怎么求哩?~(-o￣▽￣)-o 可以先在1到n-1中找到与n不互质的数,然后把他们减掉 比如φ(12) 把12质因数分解,12=2*2*3,其实就是得到了2和3两个质因数 然后把2的倍数和3的倍数都删掉 2的倍数:2,4,6,8,10,12 3的倍数:3,6,9,12 本来想直接用12 - 12/2 - 12/3 但是6和12重复减了 所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 (>﹏<) 所以这样写12 - 1…

(挖坑...) ////////////////////////////////////////////////// 暂时弃坑 开学了,有空再写....…

这章没有什么算法可言,单纯的你懂了原理后会不会运用(反正我基本没怎么用过￣ 3￣) 有366人,那么至少有两人同一天出生(好孩子就不要在意闰年啦(￣▽￣")) 有13人,那么至少有两人同一月出生 这就是抽屉原理 抽屉原理:把n+1个物品放到n个抽屉里,那么至少有两个物品在同一个抽屉里 鸽巢原理:把n+1个鸽子放到n个鸽巢里,那么至少有两个鸽子在同一个鸽巢里 球盒原理:把n+1个小球放到n个球盒里,那么至少有两个小球在同一个球盒里 (你看,我都帮你们解释里一遍(≧︶≦*)) 其实抽屉原理有两个 第…

组合数并不陌生(´・ω・`) 我们都学过组合数 会求组合数吗 一般我们用杨辉三角性质 杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和(除了边界) 第n行,第m个就是,就是C(n, m) (从0开始) 电脑上我们就开一个数组保存,像这样 用递推求 #include<cstdio> + ; ; int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m) void init(){ ; i < N; i ++){ comb[i][] = comb[i][i] = ; ; j &l…

gcd(a, b),就是求a和b的最大公约数 lcm(a, b),就是求a和b的最小公倍数 然后有个公式 a*b = gcd * lcm     ( gcd就是gcd(a, b), ( •̀∀•́ ) 简写你懂吗) 解释(不想看就跳过){ 首先,求一个gcd,然后... a / gcd 和 b / gcd 这两个数互质了,也就是 gcd(   a / gcd ,b / gcd  )  =  1,然后... lcm = gcd *  (a / gcd) * (b / gcd) lcm = (a *…

a的b次方怎么求 pow(a, b)是数学头文件math.h里面有的函数 可是它返回值是double类型,数据有精度误差 那就自己写for循环咯 LL pow(LL a, LL b){//a的b次方 LL ret = ; ; i <= b; i ++){ ret *= a; } return ret; } 完美 可是题目是b的范围是1 <= b <= 1e9(#°Д°) 超时,妥妥的... 看个例子 比如计算 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 可以这样算 原式=4*4*4*4*…

extend_gcd: 已知 a,b (a>=0,b>=0) 求一组解 (x,y) 使得 (x,y)满足 gcd(a,b) = ax+by 以下代码中d = gcd(a,b).顺便求出gcd 能够扩展成求等式 ax+by = c,但c必须是d的倍数才有解,即 (c%gcd(a,b))==0 注意求出的 x,y 可能为0或负数 =================================== 乘法逆元: a*b %n == 1 已知 a, n, 求b 就是乘法逆元 ============…