Catalan&Stirling数 Tags:数学 作业部落 评论地址 Catalan数 \(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786...\) 定义式: \[C[x+1]=C[0]C[x]+C[1]C[x-1]+C[2]C[x-2]...+C[x]C[0]\] 一.递推公式 \[C[n]=\frac{C[n-1]*(4*n-2)}{n+1}\]\[C[n]=\frac{C(2n,n)}{n+1}\]\[C[n]=C(2n,n)-C(2n,n-1)\…

都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有关的题目会更新 n个乒乓球放到m个盒子里的方案数 1.球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 ,$\binom{n-1}{m-1}$ 2.球相同,盒子不同,允许空 $(1)$ 加入m个球变成不允许空 $(2)$ m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板 $C_{n+m…

组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.html 以下部分节选自 http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/40888349 第一类Stirling数 定理:第一类Stirling数$s(p,k)$计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数. 证明:把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈…

前面说到了Catalan数,现在来了一个Bell数和Stirling数.什么是Bell数,什么是Stirling数呢?两者的关系如何,有用于解决什么算法问题呢? Bell数是以Bell这个人命名的,组合数学中的一组整数数列:B0=1,B1=1,B2=2,B3=5,B4=15,B5=52,B6=203.... Bn是基数为n的集合的划分方法数目.集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,他们的并是S.例如B3=5,集合S={1,2,3}的5中划分就是 {{1},{2},{3}} {{1…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1326 题意:有n匹马赛跑.问有多少种不同的排名结果.可以有多匹马的排名相同. 思路:排名相同的算作一组,那么最后的排名有1.2……n组,都有可能.那么对于有m组的,首先我们需要计算出n匹马分成m组有多少种分法,这就是第二类Stirling数,设为S(n,m),设a[m]表示m!,那么最后答案就是ans=sum(S(n,i)*a[i])(1<=i<=n). 第二类Stirling数:…

@维基百科 在组合数学,Stirling数可指两类数,都是由18世纪数学家James Stirling提出的. 第一类 s(4,2)=11 第一类Stirling数是有正负的,其绝对值是个元素的项目分作个环排列的方法数目.常用的表示方法有. 换个较生活化的说法,就是有个人分成组,每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目.例如: {A,B},{C,D} {A,C},{B,D} {A,D},{B,C} {A},{B,C,D} {A},{B,D,C} {B},{A,C,D} {B},{A,D,C} {C…

/** 大意: 给定一系列楼房,都在一条水平线上,高度从1到n,从左侧看能看到f个, 从右侧看,能看到b个,问有多少种这样的序列.. 思路: 因为肯定能看到最高的,,那我们先假定最高的楼房位置确定,那么在其左边还有f-1个能看见,在其右边还有b-1个,能看见..所以可以这样将题目转化: 将除最高楼之外的n-1个楼,分成f-1+b-1 组,在最高楼左边f-1 组,在其右边b-1组,那么分成f-1+b-1 组 就是第一类Stirling数.s[n-1][f-1+b-1]..左边f-1 组,在其右边b…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625 题意: 有n个房间,每个房间里放着一把钥匙,对应能开1到n号房间的门. 除了1号门,你可以踹开任意一扇门(不用钥匙),但你最多只能踹k次. 问你能将所有门打开的概率. 题解: · P(打开所有门) = 能打开所有门的钥匙放置情况数 / 钥匙放置的总情况数 · 钥匙放置的总情况数 = n! 那么考虑下能打开所有门的钥匙放置情况数... 由于每个房间里有且只有一把钥匙,所以如果将每个房间连向房间内…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4372 题意: 有n栋高楼横着排成一排,各自的高度为1到n的一个排列. 从左边看可以看到f栋楼,从右边看可以看到b栋楼,并且高的楼会挡住低的楼. 问你这些楼有多少种排列方法. 题解: 由于高的楼会挡住低的楼,所以这些楼首先会被划分成f+b-2个区域(除去中间最高的楼),并且左边有f-1个,右边有b-1个. 对于一个区域(假设在左边),这个区域由若干栋楼组成,并且最高的楼一定在最左边. 那么,由一个区域…

上一道例题 我们来介绍第二类Stirling数 定义 第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为 或者 .和第一类Stirling数不同的是,集合内是不考虑次序的,而圆排列是有序的.常常用于解决组合数学中几类放球模型.描述为:将n个不同的球放入m个无差别的盒子中,要求盒子非空,有几种方案? 第二类Stirling数要求盒子是无区别的,所以可以得到其方案数公式: 递推式 第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似,可以从定义出…