Miller Rabin 算法简介

0.1 一些闲话最近一次更新是在2019年11月12日.之前的文章有很多问题:当我把我的代码交到LOJ上,发现只有60多分.我调了一个晚上,尝试用{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 61, 24251, 2147483647, 998244353}这么一大串数作为基底,然后左改右改,总算过去了.特别感谢 @骗分过样例的提醒,现在张贴的代码应该是值得信赖的了. 之前我的同学好像就指出过我的文章的很多问题.比如说我之前写到,Miller Rabin在…

Miller Rabin算法详解

何为Miller Rabin算法首先看一下度娘的解释(如果你懒得读直接跳过就可以反正也没啥乱用:joy:) Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法,在构建密码安全体系中占有重要的地位.通过比较各种素数测试算法和对Miller-Rabin算法进行的仔细研究,证明在计算机中构建密码安全体系时, Miller-Rabin算法是完成素数测试的最佳选择.通过对Miller-Rabin 算法底层运算的优化,可以取得较以往实现更好的性能.[1] 随着信息技术的发展.网络的普及和电…

Pollard rho算法+Miller Rabin算法 BZOJ 3668 Rabin-Miller算法

BZOJ 3667: Rabin-Miller算法 Time Limit: 60 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 1044 Solved: 322[Submit][Status][Discuss] Description Input 第一行:CAS,代表数据组数(不大于350),以下CAS行,每行一个数字,保证在64位长整形范围内,并且没有负数.你需要对于每个数字:第一,检验是否是质数,是质数就输出Prime 第二,如果不是质数,输出它最大的质因子是哪个.…

Miller Rabin算法学习笔记

定义: Miller Rabin算法是一个随机化素数测试算法,作用是判断一个数是否是素数,且只要你脸不黑以及常数不要巨大一般来讲都比$O(\sqrt n)$的朴素做法更快. 定理: Miller Rabin主要基于费马小定理: \[a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)\]其中$p$是质数. 于是就有闲得没事干的一群科学家们想,这个问题的逆命题是否成立呢? 逆命题:若对于任意$a$,$a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)$都成立,那么$p$是质数…

【数论基础】素数判定和Miller Rabin算法

判断正整数p是否是素数方法一朴素的判定 …

(Miller Rabin算法)判断一个数是否为素数

1.约定 x%y为x取模y,即x除以y所得的余数,当x<y时,x%y=x,所有取模的运算对象都为整数. x^y表示x的y次方.乘方运算的优先级高于乘除和取模,加减的优先级最低. 见到x^y/z这样,就先算乘方,再算除法. A/B,称为A除以B,也称为B除A. 若A%B=0,即称为A可以被B整除,也称B可以整除A. A*B表示A乘以B或称A乘B,B乘A,B乘以A--都一样. 复习一下小学数学公因数:两个不同的自然数A和B,若有自然数C可以整除A也可以整除B,那么C就是A和B的公因数. 公倍数:两…

Miller Rabin素数检测与Pollard Rho算法

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识如何判断一个数是否为质数方法一:试除法扫描$2\sim \sqrt{n}$之间的所有整数,依次检查它们能否整除$n$,若都不能整除,则$n$是质数,否则$n$是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛用 $O(n)$…

POJ1811- Prime Test(Miller–Rabin+Pollard's rho)

题目大意给你一个非常大的整数,判断它是不是素数,如果不是则输出它的最小的因子题解看了一整天<初等数论及其应用>相关部分,终于把Miller–Rabin和Pollard's rho这两个算法看懂了O(∩_∩)O~~ Miller–Rabin主要用到了费马小定理,即:设p是一个素数,a是一个正整数且p不整除a,则ap-1≡1(mod p).若x=b(n-1)/2,x2=bn-1≡1(mod n),如果n是一个素数,则x≡1(mod n)或者x≡-1(mod n).因此,一旦我们有bn-1≡1…

poj 1811 Pallor Rho +Miller Rabin

/* 题目:给出一个数如果是prime 输出prime 否则输出他的最小质因子 Miller Rabin +Poller Rho 大素数判定+大数找质因子后面这个算法嘛基于Birthday Paradox 简单点说就是在 1到100 内去一个数 ai ai==42的概率很小但是如果取两个数 ai bi ai-bi==42 的概率就会变大应用到找素因子上就不用像试除法那样一个一个的试但是如果枚举ai bi 显然也很slow 那么有一个非常好使(奇怪)的函数 f(x)=x*x+c 这…

与数论的厮守01:素数的测试——Miller Rabin

看一个数是否为质数,我们通常会用那个O(√N)的算法来做,那个算法叫试除法.然而当这个数非常大的时候,这个高增长率的时间复杂度就不够这个数跑了. 为了解决这个问题,我们先来看看费马小定理:若n为素数,a与n互质,则an-1Ξ1(mod n).于是有人想过把它倒过来判断n是否为素数.首先,若a与n不互质,那么n为合数.所以只需要满足an-1Ξ1(mod n)即可,这个a干脆就让它等于2了.即判断2n-1Ξ1(mod n)是否成立.若不成立,那么n必定为合数.但成立时n就是素数吗?又有人找出了个数:…

$Miller Rabin$总结

$Miller Rabin$总结: 这是一个很高效的判断质数的方法,可以在用$O(logn)$ 的复杂度快速判断一个数是否是质数.它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法. 费马小定理判质数: $a^{p-1}\equiv1\mod p$ 这个定理在p为质数的时候是成立的,所以我们可以如果要判断p是否是质数,可以$rand$几个a值然后照着这个式子来算,如果算出来不是1那说明p一定不是质数. 但在我们的自然数中,如果照着这个式子算出来的答案为1,也是有可能不是质…

关于素数：求不超过n的素数，素数的判定(Miller Rabin 测试)

关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子定理2:如果n不是素数,则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子定理3:定义f(n)为不大于n的素数的个数,则 f(n) 近似等于 n/ln(n) (ln为自然对数) ,具体请参考here 求不超过n的素数本文地址算法1:埃拉托斯特尼筛法,该算法的…

HDU 3864 D_num Miller Rabin 质数推断+Pollard Rho大整数分解

链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php? pid=3864 题意:给出一个数N(1<=N<10^18).假设N仅仅有四个约数.就输出除1外的三个约数. 思路:大数的质因数分解仅仅能用随机算法Miller Rabin和Pollard_rho.在測试多的情况下正确率是由保证的. 代码: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include &l…

Pollard Rho 算法简介

$\text{update 2019.8.18}$ 由于本人将大部分精力花在了cnblogs上,而不是洛谷博客,评论区提出的一些问题直到今天才解决. 下面给出的Pollard Rho函数已给出散点图.关于$Millar Robin$算法的时间复杂度在我的博客应该有所备注.由于本人不擅长时间复杂度分析,如果对于时间复杂度有任何疑问,欢迎在下方指出. 1.1 问题的引入给定一正整数$N \in \mathbb{N}^*$,试快速找到它的一个因数. 很久很久以前,我们曾学过试除法来解决这…

Miller Rabin 详解 && 小清新数学题题解

在做这道题之前,我们首先来尝试签到题. 签到题我们定义一个函数:$qiandao(x)$ 为小于等于 x 的数中与 x 不互质的数的个数.要求 $\sum\limits _{i=l}^r qiandao(i)$ 容易发现 $qiandao(x)$ 只需求 $\phi(x)$,不互质的个数就是另外一半. 那么问题转化为了如何筛出区间 $\phi$ 的值.考虑到值域最大只有 $1e12$.并且区间长度小于一百万,所以可以尝试筛根号以内素数求解. 我们知道欧拉函数计算公式为…

webrtc 的回声抵消(aec、aecm)算法简介(转)

webrtc 的回声抵消(aec.aecm)算法简介 webrtc 的回声抵消(aec.aecm)算法主要包括以下几个重要模块:1.回声时延估计 2.NLMS(归一化最小均方自适应算法) 3.NLP(非线性滤波) 4.CNG(舒适噪声产生),一般经典aec算法还应包括双端检测(DT).考虑到webrtc使用的NLMS.NLP和CNG都属于经典算法范畴,故只做简略介绍,本文重点介绍webrtc的回声时延估计算法,这也是webrtc回声抵消算法区别一般算法(如视频会议中的算法)比较有特…

POJ2429 - GCD & LCM Inverse(Miller–Rabin+Pollard's rho)

题目大意给定两个数a,b的GCD和LCM,要求你求出a+b最小的a,b 题解 GCD(a,b)=G GCD(a/G,b/G)=1 LCM(a/G,b/G)=a/G*b/G=a*b/G^2=L/G 这样的话我们只要对L/G进行质因数分解,找出最接近√(L/G)的因子p,最终结果就是a=p*G,b=L/p,对(L/G)就是套用Miller–Rabin和Pollard's rho了,刚开始Pollard's rho用的函数也是 f(x)=x^2+1,然后死循环了....改成f(x)=x^2+c(c<…

AES算法简介

AES算法简介一. AES的结构 1.总体结构明文分组的长度为128位即16字节,密钥长度可以为16,24或者32字节(128,192,256位).根据密钥的长度,算法被称为AES-128,AES-192或者AE-256. 2.明文密钥组织方式 3.一些相关的的术语定义和表示 • 状态(State):密码运算的中间结果称为状态. • State的表示:状态用以字节为基本构成元素的矩阵阵列来表示,该阵列有4行,列数记为Nb. Nb=分组长度(bits)÷ 32.Nb可以取的值为4,对应的分组长…

POJ1811_Prime Test【Miller Rabin素数测试】【Pollar Rho整数分解】

Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num…

排列熵算法简介及c#实现

一. 排列熵算法简介: 排列熵算法(Permutation Entroy)为度量时间序列复杂性的一种方法,算法描述如下: 设一维时间序列: 采用相空间重构延迟坐标法对X中任一元素x(i)进行相空间重构,对每个采样点取其连续的m个样点,得到点x(i)的m维空间的重构向量: 则序列X的相空间矩阵为: 其中m和l分别为重构维数和延迟时间: 对x(i)的重构向量Xi各元素进行升序排列,得到: 这样得到的排列方式为其为全排列m!中的一种,对X序列各种排列情况出现次数进行统计,计算各种排列情况出现的相…

<算法图解>读书笔记:第1章算法简介

阅读书籍:[美]Aditya Bhargava◎著袁国忠◎译.人民邮电出版社.<算法图解> 第1章算法简介 1.2 二分查找一般而言,对于包含n个元素的列表,用二分查找最多需要$log_2n$步,而简单查找最多需要n步仅当列表是有序的时候,二分查找才管用 python猜数字代码(二分查找) def binarySeach (list,item): low = 0 high = len(list) - 1 while low <= high: mid = (low + high…

LARS 最小角回归算法简介

最近开始看Elements of Statistical Learning, 今天的内容是线性模型(第三章..这本书东西非常多,不知道何年何月才能读完了),主要是在看变量选择.感觉变量选择这一块领域非常有意思,而大三那门回归分析只是学了一些皮毛而已.过两天有空,记一些ESL这本书里讲的各种变量选择方法在这里. 先讲一下今天看到的新方法,所谓的LARS(Least Angle Regression). LARS是大神Efron他们搞出来做变量选择的一套算法,有点像Forward Stepwise(…

AI - 机器学习常见算法简介（Common Algorithms）

机器学习常见算法简介 - 原文链接:http://usblogs.pwc.com/emerging-technology/machine-learning-methods-infographic/ 应该使用哪种机器学习算法? 很大程度上依赖于可用数据的性质和数量以及每一个特定用例中你的训练目标. 不要使用最复杂的算法,除非其结果值得付出昂贵的开销和资源. 这里给出了一些最常见的算法,按使用简单程度排序. 1. 决策树(DT,Decision Trees) 在进行逐步应答过程中,典型的决策树分析会…

POJ2429_GCD & LCM Inverse【Miller Rabin素数測试】【Pollar Rho整数分解】

GCD & LCM Inverse Time Limit: 2000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 9756Accepted: 1819 Description Given two positive integers a and b, we can easily calculate the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of a and b.…