题目分析: 这题的目标是求$$ \sum_{i \in [0,n),k \mid i} \binom{n}{i}G^i $$ 这个形式很像单位根反演. 单位根反演一般用于求:$ \sum_{i \in [0,n),k \mid i} \binom{n}{i}f(x)^i $ 推理过程略,实际上也就是交换求和符号的事情. 接着就变成裸的矩阵快速幂了 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int m,k,p;long long n; in…

[BZOJ3328]PYXFIB(单位根反演,矩阵快速幂) 题面 BZOJ 题解 首先要求的式子是:\(\displaystyle \sum_{i=0}^n [k|i]{n\choose i}f_i\). 斐波那契数列如果要快速算显然就只能对应着一个矩阵,所以我们就直接默认\(f_i\)是一个矩阵的形式. 如果没有\([k|i]\)这个东西这个玩意看着就很像一个二项式定义的展开. 实际上二项式定理对于矩阵而言显然是对的,不妨设斐波那契数列的转移矩阵是\(A\), 那么\(\displaystyl…

题面 传送门 题解 我们设\(A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\),那么\(A^n\)的左上角就是\(F\)的第\(n\)项 所以我们现在转化为求 \[\sum_{i=0}^n[k|i]{n\choose i}A^i\] 把\([k|i]\)单位根反演一下 \[ \begin{aligned} ans &=\sum_{i=0}^n[k|i]{n\choose i}A^i\\ &={1\over k}\sum_{i=0}…

\(\color{#0066ff}{题解}\) 然后a,b,c通过矩阵加速即可 为什么1出现偶数次3没出现的贡献是上面画绿线的部分呢? 考虑暴力统计这部分贡献,答案为\(\begin{aligned}\sum_{2|i}C_n^i*3^{n-i}\end{aligned}\) 显然如果没有\(\sum\)下面的限制,它就是一个生成函数\((x+3)^n\) 相当于我们只取偶数项 可以用单位根反演 把\(\omega_2^1,\omega_2^2\)分别代入\((x+3)^n\) 得到的就是2倍的…

这题一看就觉得是生成函数的题... 我们不妨去推下此题的生成函数,设生成函数为$F(x)$,则$[x^s]F(x)$即为答案. 根据题意,我们得到 $F(x)=x+\sum_{i∈D} F^i(x)$,其中前面单独出现的$x$可以理解为空树的情况. 如果$i$的范围很小,那么我们就可以用求根公式去解多项式方程23333. 然而考虑到$i$最大为$10^5$,根据阿贝尔定理,无根式解,所以不能用此方法. 我们对原先的式子做一个移项,得$F(x)-\sum_{i∈D} F^i(x)=x$. 我们构造…

先放知识点: 莫比乌斯反演 卢卡斯定理求组合数 乘法逆元 快速幂取模 GCD of Sequence Alice is playing a game with Bob. Alice shows N integers a 1, a 2, -, a N, and M, K. She says each integers 1 ≤ a i ≤ M. And now Alice wants to ask for each d = 1 to M, how many different sequences b…

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8116330.html UPD(2018-03-26):回来重新学数论啦.之前的博客版面放在更新之后的后面. 题目传送门 - BZOJ3561 题意概括 给出$n,m$,求$\Large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)^{\gcd(i, j)}$. $1\leq n,m\leq 500000$ 题解 先推式子:(假设$n\leq m$) $$\sum_{i=1}^n\sum_{…

题意:求 \[ \sum_{i=0}^n[k|i]\binom{n}{i}Fib(i) \] 斐波那契数列有简单的矩阵上的通项公式\(Fib(n)=A^n_{1,1}\).代入得 \[ =\sum_{i=0}^n[k|i]\binom{n}{i}A^i_{1,1} \] 由单位根反演, \[ =\sum_{i=0}^n\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}w_k^{ij}\binom{n}{i}A^i_{1,1} \] 注意到后面多项与\(i\)有关,考虑将\(i\)贬到后面去.…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

题面 传送门 题解 首先你要知道一个叫做单位根反演的东西 \[{1\over k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega^{in}_k=[k|n]\] 直接用等比数列求和就可以证明了 而且在模\(998244353\)意义下的\(\omega_k^1=g^{P-1\over k}\) 据说这玩意儿在\(NTT\)的证明里有?然而我那时候光顾着背板子了 所以这个单位根反演简称小单的玩意儿能干嘛呢 然后我们惊奇的发现小单可以让我们快速求一个数列里某个数倍数项的和 \[ \begin{align…