[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

杜教筛 适用条件 你要能构造出\(g(x),h(x)\),使得\(h=f*g\). \(G(x),H(x)\)的值可以快速计算. 过程 我们要求的是\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\),现在有\(h=f*g\),\(G(x),H(x)\)分别为\(g(x),h(x)\)的前缀和. \[ \begin{aligned} H(n)=&\sum_{i=1}^{n}h(i)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&am…

题目大意: 给定\(n\le 10^9\),求: 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) 解释 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 直接输出1 因为对于\(\forall i>1\)有\(\mu (i^2)=0\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) for 杜教筛: 构造函数\(f(i)=\varphi(i^2)\),则有\(f*\mathrm{id}=id^2\),具体推导…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:…

目录 1.什么是min_25筛 2.前置知识 2.1.数论函数 2.2.埃拉托色尼筛 2.3.欧拉筛 3.min_25筛 3.1.计算质数贡献 3.2.计算总贡献 3.3.实现 4.例题 4.1.[LOJ]区间素数个数 4.2.[LG P4213]杜教筛 1.什么是min_25筛          min_25 筛和洲阁筛.杜教筛一样,是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法.常用 min_25 筛的时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})\),而经过优化可以…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

传送门 思路 (以下令\(F(n)=f(n)^k\)) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令\(G(T)=F*\mu\),那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到\(\mu\)函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(…