Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 神仙题 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 首先考虑最朴素的 \(dp\),设 \(dp_{z,i}\) 表示经过 \(z\) 次操作后剩下的数为 \(i\) 的概率,那么显然有 \(dp\) 转移方程 \(dp_{z,i}=\sum\limits_{j\ge i}dp_{z-1,j}·\dfrac{1}{j+1}\). 边界条件 \(dp_{0,i}=p_i\) 直接递推显然不行,考虑优化,我们记 \(F_z(x)…

手动博客搬家: 本文发表于20181212 09:37:21, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/84962727 呜啊怎么又是数学了啊...数学比例\(\frac{16}{33}=0.4848\) orz yhx-12243神仙 题目链接: https://codeforces.com/contest/947/problem/E 题意: 有一个\([0,n]\)的随机数\(x\)初始为\(i\)的概率为\(p_i\). \(m…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 神仙题,只不过感觉有点强行二合一(?). 首先考虑什么样的数组 \(a\) 符合条件,我们考虑一个贪心的思想,我们从前到后遍历,对于每一个 \(a_i\) 如果它已经在前面出现了就不断给它加 \(1\) 直到它没有出现过为止.如果某个 \(a_i\) 超过了 \(n\) 则不符合条件,正确性显然.这样看起来还是有点抽象,我们不妨把它转化成这样的模型:有一架飞机有 \(n\) 个位置,有 \(n\) 个乘客要登飞机,每个乘客都预定了一个位置 \…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 刚好看到 wjz 在做这题,心想这题之前好像省选前做过,当时觉得是道挺不错的题,为啥没写题解呢?于是就过来补了,由此可见我真是个大鸽子(( 跑题了跑题了-- 这里提供两种解法: Algorithm 1. 注意到"恰好"二字有点蓝瘦,因此套路地想到二项式反演,也就说我们钦定 \(k\) 条边必须与原树中的边重合,其余边可以随便连的方案数,我们假设这些与原树中的边重合的边构成的集合为 \(E'\),那么 \(E'\) 中显然包含…

[CF932E]Perpetual Subtraction(NTT,线性代数) 题面 洛谷 CF 题解 设\(f_{i,j}\)表示\(i\)轮之后这个数恰好为\(j\)的概率. 得到转移:\(\displaystyle f_{i,j}=\sum_{k=j}^{n}f_{i-1,k}*\frac{1}{k+1}\). 看成生成函数就有\(\displaystyle F_i(x)=\sum_{j=0}^{n}x^j\sum_{k\ge j}\frac{f_{i-1,k}}{k+1}\). 把两维换…

题面传送门 首先根据我们刚学插值时学的理论知识,\(f(i)\) 是关于 \(i\) 的 \(k+1\) 次多项式.而 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的前缀和,根据有限微积分那一套理论,\(g(x)\) 是关于 \(x\) 的 \(k+2\) 次多项式.注意到此题 \(k\) 数据范围不过 \(10^2\) 级别,因此我们可以考虑把 \(g\) 多项式的系数插出来.我们代入 \(k+3\) 个点值 \(1,2,3,\cdots,k+3\),预处理出 \(\prod\limits_{i=…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3157 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3516 题解:http://blog.miskcoo.com/2014/06/bzoj-3157 没管 O(m) 的方法…… UPD(2019.2.20):这样构造的思想大概是想要用 \( f(j) \) (j<=i) 来表示出 \( f(i) \) . 考虑 \( f(m)=\sum…

发现最近好少写博客啊(其实是各种摆去了) 更一点吧 这道题要求最小化均方差,其实凭直觉来说就是要使每个块分的比较均匀一点,但是单单想到想到这些还是不够的, 首先f[i][j][k][l][t]表示以(i,j)为左上角,(k,l)为右下角,一共分割的t次的矩形的最小xx, 其中xx是某个与最小均方差挂钩的东西, 通常这种要求推式子的题目都要从小的情况推广到所有情况. 这道题也是一样的, 对于一个被分为x1和x2的矩形而言(分割了一次),用X表示平均数, 那么X=权值和/块数, 那么方差为:[(X…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd(a,b)表示a与b的最大公约数. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 一行两个整数p.n. \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 一行一个整数(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3157 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3516 这篇博客写得太好:http://blog.miskcoo.com/2014/06/bzoj-3157 然而目前之会 \( O(m) \) 的做法: 感觉关键是设计 \( S_{i} \),把它设在 \( m \) 那一维上很妙,毕竟 \( i^{m} \) 不太好做: 然而推式…

要点 题目链接 1e18的数据无法\(O(n)\)的容斥,于是推式子,官解,其中式子有点小错误 不必预处理mu,直接按照素数的个数判断正负即可 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int T; ll k, q, n, m; int mark[25]; void pre() { mark[2] = mark[3] = mark[5] = mark[7] = mark[11] = mark[13]…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3240 n 和 m 太过巨大,不难想到应该用费马小定理什么的来缩小范围: 总之就是推式子啦,看博客:https://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/24594825 还有:https://www.cnblogs.com/iiyiyi/p/5617598.html 其实也蛮好推的,也挺好写,但我调了很久很久啊... 要十分注意取 mod 时…

考试T2,考试时想到了40pts解法,即对于求b数组,随便瞎搞一下就oxxk,求a的话,很明显的高斯消元,但考试时不会打+没开double挂成10pts(我真sb),感觉考试策略还是不够成熟,而且感觉考试时间很不够用,一直在瞎yy+code,听讲题DeepinC 12min就打出了T150pts,这不仅是思维上的劣势,而且打代码的速度必须要加上来啊,不然就算有好想法也打不出来(也没啥好想法). 接下来就是正经八本的题解了: 首先我们可以来一波玄学复杂度分析,数据范围1e5,要么$O(nlogn)…

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447 1.容斥原理 求 f [ i ] 表示 gcd==i 的对数,先 f [ i ] = (n/i) * (m/i),再考虑减去不合法的对数. 不合法就是不互质,也就是还有别的公因数,即还能再除.直接算会重复,不如限定求出 gcd==j 的对数. 利用更大的 f [ ] 即可.在 n/i 和 m/i 的基础上 gcd==j 的对数就是 f [ i*j ].所以要倒推. #include<iostream>…

sequence 考虑长度<=x的方案数F(x),然后(F(x)-F(x-1))*x贡献到答案里 n平方的做法可以直接DP, 感觉有式子可言, 就推出式子:类似coat,每个长度为i的计算i次. 再容斥下: F是方案数,还是求: 枚举分成的段数,枚举多少个超过i进行容斥: 突破口:有个n-i*k-1,意味着i*k<=n,这样的i和k暴力枚举一共nlogn复杂度! 提出来,考虑干掉j 强行推式子: 处理: (怎么看怎么也看不出什么道理的样子) 来找组合意义吧: 有n-ik个球,我们先从中选出j个…

LINK:数列求和 每次遇到这种题目都不太会写.但是做法很简单. 终有一天我会成功的. 考虑类似等比数列求和的东西 帽子戏法一下. 设\(f(k)=\sum_{i=1}^ni^ka^i\) 考虑\(af(k)\)这个式子 两式做差. \((a-1)f(k)=n^n\cdot a^{n+1}-a+\sum_{i=2}^n{a^i((i-1)^k-i^k)}\) 右边直接二项式展开 然后 交换求和顺序可得. \((a-1)f(k)=n^k\cdot a^{n+1}-a+\sum_{j=0}^{k-1…

洛谷题面传送门 首先推式子: \[\begin{aligned} ans&=\sum\limits_{i=A}^B\sum\limits_{j=1}^i\{\dfrac{i}{j}\} \end{aligned} \] 考虑差分,设 \[f(n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\{\dfrac{i}{j}\} \] 那么 \[ans=f(B)-f(A-1) \] 考虑如何计算 \(f(n)\): \[\begin{aligned} f(n)&=…

洛谷题面传送门 hot tea. 首先注意到这个 \(\text{lcm}\) 特别棘手,并且这里的 \(k\) 大得离谱,我们也没办法直接枚举每个质因子的贡献来计算答案.不过考虑到如果我们把这里的 \(\text{lcm}\) 改为 \(\gcd\) 那么一遍莫比乌斯反演即可搞定,因此考虑将这里的 \(\text{lcm}\) 与 \(\gcd\) 联系在一起.那么什么能将这两个东西联系在一起呢?Min-Max 容斥,具体来说,考虑式子 \[\text{lcm}(S)=\prod\limits…

洛谷题面传送门 u1s1 这个推式子其实挺套路的吧,可惜有一步没推出来看了题解 \[\begin{aligned} res&=\sum\limits_{i=0}^ni^k\dbinom{n}{i}(\dfrac{1}{m})^i(\dfrac{m-1}{m})^{n-i}\\ &=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=1}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline{j}}\dbinom{n}{i}(\dfra…

题面传送门 一道推式子题. 首先列出柿子,\(ans=\sum\limits_{T_2}|T_1\cap T_2|·2^{T_1\cap T_2}\) 这个东西没法直接处理,不过注意到有一个柿子 \(f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}\sum\limits_{T'\subseteq T}(-1)^{T-T'}f(T')\),证明可考虑计算每个 \(T'\) 的贡献,由于 \(T'\subseteq T\subseteq S\),\(T\) 必然是 \(T'\) 与 \…

题目链接:洛谷 pb大佬说这是sb题感觉好像有点过fan...(我还是太弱了) 首先,设$i$这个数在序列中出现$a_i$次,要求$\sum_{i=1}^D[a_i \ mod \ 2]\leq n-2m$ 如果要直接计算$\leq n-2m$的数量会非常麻烦,所以考虑设$g_i$表示恰好出现$i$个奇数的方案之和. 这样也还是太麻烦,我们考虑使用反演或容斥通过$\geq i$的数量推算出恰好等于$i$的数量,假设$f_i$表示出现$i$个奇数的方案数. 因为这是数的排列问题,所以考虑使用指数型…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 upd on 2021.10.20:修了个 typo( 这是一道 *2600 的 D2E,然鹅为啥我没想到呢?wtcl/dk 首先第一步我就没想到/kk,看到"恰好"二字我们可以想到一个东西叫做二项式反演(qwq 这个套路在刷多项式题时经常见到,可咋换个场景就想不到了呢?显然是我多项式白学了/doge).我们设 \(f_k\) 表示恰好 \(k\) 个完美数的排列个数,\(g_k\) 表示钦定 \(k\) 个位置满足 \(|…

题目传送 推公式博客传送 推完式子就是去朴素地求就行了Orz const int maxn = 1e5 + 5; const int mod = 1e9 + 7; int m, mu[maxn], vis[maxn], primes[maxn], tot; ll dp[maxn]; vector<int> factor[maxn]; ll ksm(ll a, ll b) { ll ret = 1; for (; b; b >>= 1) { if (b & 1) ret =…

题目传送门 似乎我的解法和官方题解不太一样 纪念自己独立做出来的一道难度 2800 的题. 我们记 \(ans(x)\) 为 \([444...44,x]\) 的答案,显然答案为 \(ans(r)-ans(l)\) 其次我们考虑 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 之间有什么联系. 不难发现从 \(a_i\) 变到 \(a_{i+1}\),也就是把 \(a_i\) 末尾一系列 \(7\) 改为 \(4\),再把从右往左数第一个 \(4\) 改为 \(7\). 这样我们就可以枚举末尾 \(…

题目 神题.很多东西都不知道是怎么凑出来的,随意设置几个变量,之间就产生了密切的关系.下次碰到这种题应该还是不会做罢. 令\(E_x\)为最后结束时所有的饼干都在第x个人手中的概率*时间的和.\(ans=\sum E_x\). 令\(C\)为现在所有的饼干都在第x个人手中,要将它们全部转移到第y(\(x \neq y\))个人手中的期望步数.显然对于所有的x,y,C都是相同的. 令\(P_i\)为游戏结束时,所有饼干都在第i人手中的概率. 假设篡改游戏规则,饼干全在第x个人手中时游戏才结束.令此…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有一个整数 \(x\in[0,n]\),初始时以 \(p_i\) 的概率取值 \(i\).进行 \(m\) 轮变换,每次均匀随机取整数 \(r\in[0,x]\),令 \(x\leftarrow r\).求变换完成后 \(x=i~(i=0..n)\) 的概率.答案模 \(998244353\). \(\mathcal{Solution}\)   令向量 \(\boldsymbol p\) 为此时 \(x\) 的取值概率,显然…

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/353/D?mobile=true H. Queue time limit per test 1 secondmemory limit per test 256 megabytes 问题描述 There are n schoolchildren, boys and girls, lined up in the school canteen in front of the bun stall. The b…

Tennis Championship 题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/735/C ——每天在线,欢迎留言谈论. 题目大意: 给你一个 n (2≤n≤10^18),代表一共有n位参加比赛的选手. 游戏规则: ①每次比赛,输的选手将离开赛场 ②相互比赛的选手 他们的获胜的次数相差不能超过1(获胜4次的选手只能跟3或5次的选手比赛) 问题:最终赢得比赛的选手,胜场最多能为多少. 思路: 贪心:①选一名选手让他一直获胜且优先让他参加比赛 ②当…

最主要的步骤是用 1式子和2式子推 3式子.(难点,看了很多博客最后的时候那个式子看不懂) 当n, m互质时即gcd(n, m) == 1,存在phi(n * m) = phi(m) * phi(n) 当m为素数且n%m == 0时,存在phi(n*m) = phi(n) * m 记  为S(n, m),存在S(n,m) = S(n/p, m) * (p – 1) + S(n, m/p) (其中p为素数) #include<bits/stdc++.h> #define LL long long…

求$G(a,b,n,p) = (a^{\frac {p-1}{2}}+1)(b^{\frac{p-1}{2}}+1)[(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2F_n} + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2F_n}] (mod p)$ 左边可以看出是欧拉判定准则,那么只有当a,b其中一个满足是模p下的非二次剩余时G()为0. 右边的式子可以先把平方放进去,发现这个已经是通项公式了,那么$a+b+\sqrt{ab}$和$a+b-\sqrt{ab}$就是它的特征根了,反代回二阶…