$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$ 对于上述式子,可以简单的理解. 对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项 由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素 所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布…

期望的线性性: \[E(x+y)=E(x)+E(y) \] 证明: \[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jj*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_ii*P(i=x)+\sum_jj*P(j=y) \] \[=E(x)+E(y) \] Min - Max 容斥: 我们现在有一个全集 \(U= \lbrace{a_1,a_2,a_3,...,a_n}\rbrace\)…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

题意:有N(1<=N<=20)张卡片,每包中含有这些卡片的概率,每包至多一张卡片,可能没有卡片.求需要买多少包才能拿到所以的N张卡片,求次数的期望. 析:期望DP,是很容易看出来的,然后由于得到每张卡片的状态不知道,所以用状态压缩,dp[i] 表示这个状态时,要全部收齐卡片的期望. 由于有可能是什么也没有,所以我们要特殊判断一下.然后就和剩下的就简单了. 另一个方法就是状态压缩+容斥,同样每个状态表示收集的状态,由于每张卡都是独立,所以,每个卡片的期望就是1.0/p,然后要做的就是要去重,既然…

题目 Source http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/42145 Description Let’s assume there is a new chess piece named Super-rook. When placed at a cell of a chessboard, it attacks all the cells that belong to the same row or same column. Additionally it at…

题目大意: 求x属于[1,b]和 y属于[1,d]的 gcd(x,y)=k 的方案数 题解: 观察发现 gcd()=k 不好处理,想到将x=x/k,y=y/k 后 gcd(x,y)=1.. 即问题转化为求区间 [1,b/k]和 [1,d/k]的互质数对个数 由于题目规定 (x,y)和(y,x)是同一种,所以我们可以规定 x<y,,然后只需对每一个y求出比他小的即可 公共部分可以通过欧拉函数快速求出.. 非公共部分就不行了.. 所以就分解质因数,用容斥的方法求了 #include <iostre…

题目链接: [集训队作业2018]小Z的礼物 题目要求的就是最后一个喜欢的物品的期望得到时间. 根据$min-max$容斥可以知道$E(max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S}^{ }(-1)^{|T|-1}E(min(T))$ 那么只需要知道每个子集中最早得到的物品的期望时间即可得出答案. 对于每个子集,最早得到的物品的期望时间就是一次选择能得到这个子集中元素的概率的倒数. 用一次选择能得到这个子集中的元素的方案数除上总方案数(每次共有$2*n*m-n-m$种选择方…

题目描述 有一棵 \(n\) 个点的树.你从点 \(x\) 出发,每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去. 有 \(q\) 次询问,每次询问给定一个集合 \(S\),求如果从 \(x\) 出发一直随机游走,直到点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的话,期望游走几步. 特别地,点 \(x\)(即起点)视为一开始就被经过了一次. 答案对 \(998244353\) 取模. 题解 这道题要求点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的期望步数,直接做不好做,要先用一个 min-max 容斥转换…

min-max容斥学习笔记 前置知识 二项式反演 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \] 一些定义 \(\max (S),\min (S)\)表示分别集合\(S\)的最大,最小元素 套路式子 \[ \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \] 证明 首先我…

题解: 之前听说过这个东西但没有学 令$max(S)$表示S中编号最大的元素,$min(S)$表示编号中最小的元素 $$max(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} min(T) $$ $$min(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} max(T) $$ 然后再在外面套个期望 $$E(max(S))=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} E(min(T))$$ hdu 4336 定义大小比较为出现时间早晚 $E(max(S)…

min-max 容斥 给定集合 \(S\) ,设 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中的最大值,\(\min(S)\) 为 \(S\) 中的最小值,则: \[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\] 这个东西叫 min-max容斥. 证明可以拿二项式反演证 例题 hdu4336 Card Collector 题目 有 \(n\) 种卡片,每一秒都有 \(P_i\) 的概率获得一张第 \(i\) 种卡片,求每张卡片都至少有一张的期望时间. 记 \(…

传送门 调了1h竟然是因为1004535809写成了998244353 "恰好有\(K\)种颜色出现了\(S\)次"的限制似乎并不容易达到,考虑容斥计算. 令\(c_j\)表示强制\(j\)种颜色恰好出现\(S\)次,其他颜色随意染的方案数.可以通过生成函数知道 \(\begin{align*} c_j &= \binom{m}{j} n! [x^n] (\frac{x^k}{k!})^j (\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!})^{m…

题目大意 给你一个无向图,有\(m\)个询问,每次给你一个点\(x\)和一个点集\(S\),问你从\(x\)开始走,每次从一个点随机的走到与这个点相邻的点,问你访问\(S\)中每个点至少一次的期望步数是多少. \(n\leq 18,m\leq 100000\) 题解 有个东西叫min-max容斥: \[ \max(S)=\sum_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}{(-1)}^{|T|+1}\min(T) \] 这道题中,\(\min(S)\)是从点\(x\)开始走…

[Luogu4707]重返现世(min-max容斥) 题面 洛谷 求全集的\(k-max\)的期望 题解 \(min-max\)容斥的证明不难,只需要把所有元素排序之后考虑组合数的贡献,容斥系数先设出来后也不难解出. 那么我们来考虑如何求解\(k-max\),设出容斥系数\(f(|T|)\) \[kmax(S)=\sum_{T\subset S}f(|T|)min(T)\] 显然是从小到大考虑每个元素作为\(min\)时候的贡献,并且我们只需要其中第\(k\)大的贡献. 假设\(n=|S|\),…

[UOJ#422][集训队作业2018]小Z的礼物(min-max容斥,轮廓线dp) 题面 UOJ 题解 毒瘤xzy,怎么能搬这种题当做WC模拟题QwQ 一开始开错题了,根本就不会做. 后来发现是每次任意覆盖相邻的两个,那么很明显就可以套\(min-max\)容斥. 要求的就是\(max(All)\),而每个集合的\(min\)是很好求的. 如果直接暴力枚举集合复杂度就是\(2^{cnt}cnt\). 仔细想想每个子集我们要知道的是什么,只需要知道子集大小来确定前面的容斥系数,还需要知道覆盖子集…

题目描述 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行或(c++,c的|,pascal 的or)操作.选择数字i的概率是p[i].保证0<=p[i]<=1,Σp[i]=1问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. 题解 MIN-MAX容斥 大概就是这么两个东西,做题思路大概就是正难则反吧,max不好求但min好求,就可以直接用这种方法上了. 现在我们算maxV(S),然鹅它不好算,所以我们就转换求所有minV(S). 考虑一个事件发生的概率为p,…

「PKUWC2018」随机游走(min-max容斥+FWT) 以后题目都换成这种「」形式啦,我觉得好看. 做过重返现世的应该看到就想到 \(min-max\) 容斥了吧. 没错,我是先学扩展形式再学特殊形式的. \[E(\text{max}(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\text{min}(T))\] 问题转化之后,然后我们可以枚举所有状态然后 \(O(n)\) 树形 \(dp\) \(-1\) 那项可以 \(O(2^n)\) 推出来,接下来就是子集…

传送门 套路题 看到\(n \leq 20\),又看到我们求的是最后出现的位置出现的时间的期望,也就是集合中最大值的期望,考虑min-max容斥. 由\(E(max(S)) = \sum\limits_{T \subset S} (-1)^{|T| + 1} E(min(T))\),我们要求的就是一个集合至少有一个数字出现的期望时间.那么\(E(min(T)) = \frac{1}{\sum\limits_{S' \cap T \neq \emptyset} p_{S'}}\). \(\sum\…

[LOJ#6374]网格(二项式反演,容斥) 题面 LOJ 要从\((0,0)\)走到\((T_x,T_y)\),每次走的都是一个向量\((x,y)\),要求\(0\le x\le M_x,0\le y\le M_y\),并且不能不走.同时有\(k\)个限制,表示不能同时\(x=y=k_i\),保证所有\(k_i\)都是\(G\)的倍数.求恰好跳了\(R\)步到达的方案数. 题解 如果不存在不能走的点的限制,那么两维可以分开考虑.比如接下来只考虑\(x\)上的问题. 因为存在步长的限制,所以设\…

题目链接:洛谷 题目大意:给定正整数 $n$.一开始有一个数字 $0$,然后每一秒,都有 $p_i$ 的概率获得 $i$ 这个数 $(0\le i< 2^n)$.一秒恰好会获得一个数.每获得一个数,就要将我们有的数与获得的数进行按位或.问期望经过多少秒后,我们的数变成 $2^n-1$. $1\le n\le 20,\sum p_i=1$. %%%stO shadowice1984 Orz%%% 首先定义 $\min(S)$ 表示 $S$ 中第一个变为 $1$ 的元素的时间.(其中 $S$ 是一个…

参考:题解 P3813 [[FJOI2017]矩阵填数] 题目大意: 给定一个 h∗w 的矩阵,矩阵的行编号从上到下依次为 1...h ,列编号从左到右依次 1...w . 在这个矩阵中你需要在每个格子中填入 1...m 中的某个数. 给这个矩阵填数的时候有一些限制,给定 n个该矩阵的子矩阵,以及该子矩阵的最大值 v ,要求你所填的方案满足该子矩阵的最大值为 v . 现在,你的任务是求出有多少种填数的方案满足 n 个限制. 两种方案是不一样的当且仅当两个方案至少存在一个格子上有不同的数.由于答案…

搞了一下午 真的是啥都不会 首先这道题要用到Min-Max容斥 得到的结论是 设 $Max(S)$表示集合里最晚被访问的节点被访问的期望步数 设 $Min(S)$表示集合里最早被访问的节点被访问的期望步数 那么$ Max(S) = ∑_{T \in S} {-1^ { \lvert T \rvert+1} }Min(T)$ (这个相关的证明和理解可以看看HDU4336 附一个题解) 考虑对于一个集合$S$如何计算$Min(S)$ 记$d_u$为点$u$的度数 当$u\notin S \space…

补充一篇详细得不能再详细的题解,比如让我自己看懂. 可能与前面的题解有些相同,我想补充一下自己的想法. 显然,最多 \(K\) 最大为 \(N=min(\lfloor \frac nS\rfloor,m)\) 首先,我们看到出现 \(S\) 次的颜色恰好 \(K\) 种的话,我们就可以考虑容斥,将其化为出现 \(S\) 次的颜色至少 \(K\) 种的方案数 \(f[K]\) 那么先选定在 \(m\) 中颜色中选定 \(i\) 种颜色,有 \(C_m^i\) 种 选定在 \(n\) 个位置中选定…

题意 给你 \(n\) 个完全相同骰子,每个骰子有 \(k\) 个面,分别标有 \(1\) 到 \(k\) 的所有整数.对于\([2,2k]\) 中的每一个数 \(x\) 求出有多少种方案满足任意两个骰子的和都不为 \(x\) 的方案数. 分析 对于每个 \(x\) ,考虑当 \(i\le x\) 时, \(i\) 和 \(x-i\) 只能出现一个.将他们看成同一种权值,数量记为 \(w\) ,剩余权值数量记位 \(cnt\) ,然后枚举有多少种特殊权值没出现 (\(ans\)) 并容斥: \[…

题意 \(n\) 张卡牌 \(m\) 种颜色,询问有多少种本质不同的序列满足相邻颜色相同的位置数量等于 \(k\). 分析 首先本质不同不好直接处理,可以将同种颜色的卡牌看作是不相同的,求出答案后除以 \(\prod {a_i!}\) 即可. 如果我们能够得到一个至少存在 \(k\) 个魔术对的排列数,就可以容斥了. 考虑单独处理每种颜色, 枚举一个颜色 \(i\),计算这种颜色至少有 \(j\) 对的方案总数. 可以选择 \(j\) 张牌保证这些牌一定跟在某张牌的后面,这样就可以形成 \(\g…

考虑min-max容斥 \(E[max(S)] = \sum \limits_{T \subset S} min(T)\) \(min(T)\)是可以被表示出来 即所有与\(T\)有交集的数的概率的和的倒数 通过转化一下,可以考虑求所有与\(T\)没有交集的数的概率和 即求\(T\)的补集的子集的概率和 用FMT随意做下吧... 注意:概率为1的时候需要特判 复杂度\(O(2^n * n)\) #include <cstdio> #include <vector> #include…

题意 题目链接 \(N\)个物品,每次得到第\(i\)个物品的概率为\(p_i\),而且有可能什么也得不到,问期望多少次能收集到全部\(N\)个物品 Sol 最直观的做法是直接状压,设\(f[sta]\)表示已经获得了\(sta\)这个集合里的所有元素,距离全拿满的期望,推一推式子直接转移就好了 主程序代码: int N; double a[MAXN], f[MAXN]; signed main() { // freopen("a.in", "r", stdin);…

[BZOJ4036]按位或(Min-Max容斥,FWT) 题面 BZOJ 洛谷 题解 很明显直接套用\(min-max\)容斥. 设\(E(max\{S\})\)表示\(S\)中最晚出现元素出现时间的期望,\(min\)同理. 那么\(E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}E(min\{T\})\) 考虑怎么求\(E(min\{T\})\),很容易发现只需要或上了任何一位就行了. 也就是 \[E(min\{T\})=\frac{1}{\sum_{G\c…

[HDU4336]Card Collector(Min-Max容斥) 题面 Vjudge 题解 原来似乎写过一种状压的做法,然后空间复杂度很不优秀. 今天来补一种神奇的方法. 给定集合\(S\),设\(max\{S\}\)为\(S\)中的最大值,\(min\{S\}\)为集合\(S\)中的最小值. 那么我们可以得到: \(max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min\{T\}\) 证明的话,大概就是如果你钦定一个最小值,并且它强制出现, 如果枚举所有子集…

题目链接 BZOJ4036 题解 好套路的题啊,,, 我们要求的,实际上是一个集合\(n\)个\(1\)中最晚出现的\(1\)的期望时间 显然\(minmax\)容斥 \[E(max\{S\}) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1}E(min\{T\})\] 那么问题就转化为了求每个集合中最早出现的\(1\)的期望时间 假如在\(k\)时刻出现,那么前\(k - 1\)时刻一定都是取的补集的子集,记\(T\)补集的所有子集概率和为\(P\) \…