考虑转化题意,我们发现其实就是找一个长度为\(n\)的全排列,使得这个排列有\(A\)个前缀最大值,\(B\)个后缀最大值,求方案数 我们考虑把最大值拎出来单独考虑,同时定义一些数的顺序排列为单调块(随便取的名字) 考虑在这个最大值左边有\(A-1\)个单调块,右边有\(B-1\)个单调块,如果这些块在左右两边按序排好的话就是一种合法方案 那我们只需要找出\(A+B-2\)个单调块,并且将其中拿出\(A-1\)个放在左边,因此答案有一项就是\(C_{A+B-2}^{A-1}\) 考虑怎么从除了最…

传送门 解题思路 好神仙的思路,首先一种排列中按照最高点将左右分开,那么就是要在左边选出\(a-1\)个,右边选出\(b-1\)一个,这个如何计算呢?考虑第一类斯特林数,第一类斯特林数是将\(n\)个数分成\(m\)个圆排列的方案数,在这道题中,假如划分成圆排列之后,将圆排列从最大值处断开可以造成\(1\)的贡献.那么答案就为\(s(n-1,a+b-2)*C(a+b-2,a-1)\). 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include&…

洛谷题目链接:[FJOI2016]建筑师 题目描述 小 Z 是一个很有名的建筑师,有一天他接到了一个很奇怪的任务:在数轴上建 \(n\) 个建筑,每个建筑的高度是 \(1\) 到 \(n\) 之间的一个整数. 小 Z 有很严重的强迫症,他不喜欢有两个建筑的高度相同.另外小 Z 觉得如果从最左边(所有建筑都在右边)看能看到 \(A\) 个建筑,从最右边(所有建筑都在左边)看能看到 \(B\) 个建筑,这样的建筑群有着独特的美感.现在,小 Z 想知道满足上述所有条件的建筑方案有多少种? 如果建筑 \…

传送门 没想到连黑题都会有双倍经验的 其实这题本质上是和CF960G Bandit Blues一样的,不过那里是要用分治FFT预处理第一类斯特林数,这里直接打表预处理第一类斯特林数就可以了 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)…

本省省选题是需要做的. 题目传送门:洛谷P4609. 题意简述: 求有多少个 \(1\) 到 \(N\) 的排列,满足比之前的所有数都大的数正好有 \(A\) 个,比之后的所有数都大的数正好有 \(B\) 个. 答案对 \(mod=10^9+7\) 取模. 有 \(T\) 组数据. 题解: 考虑最大的元素 \(N\) ,它把序列分成两部分. 考虑左边的一部分,它满足比之前所有数都大的数正好有 \(A-1\) 个,右边同理. 把每个比之前所有数都大的数和其右边比它小的连续一段的数分为一组,则左边有…

Description 你需要构造一个长度为 \(n\) 的排列 , 使得一个数作为前缀最大值的次数为 \(A\) , 作为后缀最大值的次数为 \(B\) , 求满足要求的排列个数 . 题面 Solution 同 \(FJOI\) 建筑师 . 从 \(n\) 到 \(1\) 依次加入 , 对于 \(n\) ,对 \(A,B\) 的出现次数都会贡献 \(1\) . 剩下的数 , 如果放在左边则对 \(A\) 有贡献 , 放在右边则对 \(B\) 有贡献 , 放在中间则没有贡献 . 我们从组合意义上…

题目链接 洛谷P4609 题解 感性理解一下: 一神带\(n\)坑 所以我们只需将除了\(n\)外的\(n - 1\)个元素分成\(A + B - 2\)个集合,每个集合选出最大的在一端,剩余进行排列,然后选出\(A - 1\)个集合放左边,剩余放右边 容易发现分割集合并内部排列实质对应第一类斯特林数\[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix}\] 所以答案就是 \[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \e…

思路 裸的第一类斯特林数,思路和CF960G相同 预处理组合数和第一类斯特林数回答即可 代码 #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define int long long using namespace std; const long long MOD= 1e9+7; long long jc[300],inv[300],n,a,b,S_[50100][210]; long long po…

题面 洛谷 题解 (图片来源于网络,侵删) 以最高的柱子\(n\)为分界线,我们将左边的一个柱子和它右边的省略号看作一个圆排列,右边的一个柱子和它左边的省略号看作一个圆排列,于是,除了中间的最高的柱子,我们可以把剩下的\(n-1\)根柱子放入这\(A+B-2\)(左边\(A-1\)个右边\(B-1\)个)个圆排列中(第一类斯特林数),然后在根据组合数进行区分,有: \[ ans=s_{n-1}^{A+B-2}\times C_{A+B-2}^{A-1} \] 预处理第一类斯特林和组合数即可. #…

[CF960G]Bandit Blues(第一类斯特林数,FFT) 题面 洛谷 CF 求前缀最大值有\(a\)个,后缀最大值有\(b\)个的长度为\(n\)的排列个数. 题解 完完全全就是[FJOI]建筑师的加强版本. 显然每一个前缀最大值和一段连续的区间构成了一个环排列,显然每个前缀最大值就是这个环中的最大值.而全局最大值一定把前后缀最大值分开. 所以答案考虑除最大值外,左侧需要\(a-1\)个前缀最大值,右侧需要\(b-1\)个前缀最大值.也就是一共要\(a+b-2\)个环,那么这一部分的贡…

题目描述 LOJ题面:https://loj.ac/problem/2173. 洛谷题面:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4609. Solution [CF960G] Bandit Blues这题的弱化版,直接暴力算斯特林数就好了. 不知道为什么这是省选题但是\(bzoj\)没有... 注意模数是\(1e9+7\)...我以为和原题一样被坑了好久. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; void…

传送门 弱化版:FJOI2016 建筑师 由上面一题得到我们需要求的是\(\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}\) 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以\(O(N)\),但是暂时我们求第一类斯特林数只有\(O(N^2)\)的方法 考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

[CF960G]Bandit Blues 题面 洛谷 题解 思路和这道题一模一样,这里仅仅阐述优化的方法. 看看答案是什么: \[ Ans=C(a+b-2,a-1)\centerdot s(n-1,a+b-2) \] 组合数我们已经可以\(O(N)\)求了,主要是第一类斯特林数存在问题. 考虑它的转移: \[ s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m) \] 根据这个转移,我们写出它\(n\)固定时的生成函数 \[ G(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i) \…

[LG4609][FJOI2016]建筑师 题面 洛谷 题解 (图片来源于网络) 我们将每个柱子和他右边的省略号看作一个集合 则图中共有\(a+b-2\)个集合 而原来的元素中有\(n-1\)个(除去最后一个) 考虑第一类斯特林数的意义: 从\(n\)个元素选出\(m\)个有序圆圈的方案数 我们将圆圈从中间最大处剪开则可以满足要求 则我们有\(s(n-1,a+b-2)\)种选法 因为要保证从左看有\(a\)个 所以要乘上\(C(a+b-2,a-1)\) \[ \therefore Ans=C(a…

题面1 题面2 两个题推导是一样的,具体实现不一样,所以写一起了,以FJOI 2016 建筑师 的题面为标准 前后在组合意义下一样,现在只考虑前面,可以发现看到的这a个建筑将这一段划分成了a-1个区间,区间里的数随意填. 看起来可以用组合数算,但是还要考虑看到的建筑,所以我们把每个建筑和它后面这段区间合起来看.设区间的长度是len,这就是一个len+1个数的圆排列(等于len!,相当于固定一个开头后面随便排) 这样考虑前后就是将n-1个数划分为a+b-2个全排列,n-1是因为最高的那个在两边都没…

题目描述 小 Z 是一个很有名的建筑师,有一天他接到了一个很奇怪的任务:在数轴上建 n 个建筑,每个建筑的高度是 1 到 n 之间的一个整数. 小 Z 有很严重的强迫症,他不喜欢有两个建筑的高度相同.另外小 Z 觉得如果从最左边(所有建筑都在右边)看能看到 A个建筑,从最右边(所有建筑都在左边)看能看到 B 个建筑,这样的建筑群有着独特的美感.现在,小 Z 想知道满足上述所有条件的建筑方案有多少种? 如果建筑 i的左(右)边没有任何建造比它高,则建筑 i可以从左(右)边看到.两种方案不同,当且仅…

题目链接 CF960G 题解 同FJOI2016只不过数据范围变大了 考虑如何预处理第一类斯特林数 性质 \[x^{\overline{n}} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^{i}\] 分治\(NTT\)即可在\(O(nlog^2n)\)的时间内预处理出同一个\(n\)的所有\(\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}\) 其实还有比较优美的倍增\(fft\)的\(O(…

luogu description 一个\(1...n\)的排列,其前缀最大值有\(A\)个,后缀最大值有\(B\)个,求满足要求的排列数. 一个位置\(i\)满足前缀最大当且仅当不存在\(j<i\)使得\(a_j>a_i\).后缀最大亦然. \(T\le2\times10^5,n\le5\times10^4,A,B\le100\) sol 考虑\(n\)这个数.它一定既是前缀最大又是后缀最大,所以它的前面还有\(A-1\)个前缀最大,\(B-1\)个后缀最大. 考虑每个前缀/后缀最大值,它一…

题目链接:codeforces960G 来看看三倍经验:hdu4372 luogu4609 某蒟蒻的关于第一类斯特林数的一点理解QAQ:https://www.cnblogs.com/zhou2003/p/10780832.html 注意到当前序列的最大值会对前缀最大值和后缀最大值均产生\(1\)的贡献 那么当我们去掉这个最大值后,剩下\(n-1\)个元素,需要产生\(a-1\)个前缀最大值和\(b-1\)个后缀最大值,并且它们的位置会以最大值为界限分布在两侧 我们将剩下的\(n-1\)个元素分…

目录 题意 输入格式 输出格式 思路 代码 题意 找有多少个长度为n的排列,使得从左往右数,有a个元素比之前的所有数字都大,从右往左数,有b个元素比之后的所有数字都大. n<=2*10^5,a,b<=n 输入格式 输入三个整数n,a,b. 输出格式 输出一个整数,表示答案. 思路 这道题是真的神啊... 首先,根据官方题解的思路,首先有一个n^2的DP: 定义dp[i][j]表示一个长度为i的排列,从前往后数一共有j个数字大于所有排在它前面的数字. 首先有转移式: \[dp[i][j]=dp[…

题意 给你三个正整数 \(n,a,b\),定义 \(A\) 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 \(B\) 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 \(n\) 的排列中满足 \(A = a\) 且 \(B = b\) 的排列个数.\(n \le 10^5\),答案对 \(998244353\) 取模. Sol 首先可以设一个 \(DP\) 状态 \(f(i,j)\) 表示,长度为 \(i\) 的排列,有 \(j\) 个前缀最大值的方案数. 那么转移就是枚举新放一个最小值,只有放在序列…

题目传送门 题意:给出$N$个高度从$1$到$N$的建筑,问有多少种从左往右摆放这些建筑的方法,使得从左往右看能看到$A$个建筑,从右往左看能看到$B$个建筑.$N \leq 5 \times 10^4 , A,B \leq 100$ 第一次看到第一类$Stirling$数有用emmm 考虑将某种方案中最高的建筑拿出来,将分成的两半中可以看得见的与被它挡住的建筑分成一个部分,如下 绿色的当然是最高的,剩下的两个部分分成了1,2,3三个部分.可以知道我们总共需要$A+B-2$这样的部分,而其中$A…

一道好冷门的好题啊,算是对于一个小结论和数据结构的一点考验吧 首先看完题目我们发现要从这个神秘数的性质入手,我们观察or手玩可得: 如果有\(x\)个\(1\),那么\([1,x]\)都是可以表示出来的 如果我此时加入的数\(y>x\),那么这个数无法被表示,因此便为答案 如果我此时加入的数\(y\le x\),那么这个数可以被表示,并且可以表示的区间变成了\([1,x+y]\) 重复以上过程,肯定可以得出答案 但这样对于每一次询问都要进行一次排序,时间复杂度为\(O(nm\ logn)\),肯…

显然排列中的最大值会将排列分成所能看到的建筑不相关的两部分.对于某一边,将所能看到的建筑和其遮挡的建筑看成一个集合.显然这个集合内最高的要排在第一个,而剩下的建筑可以随便排列,这相当于一个圆排列.同时这些集合的相对顺序显然是固定的.那么考虑划分出一些集合分别放在两边即可.这就是一个非常标准的第一类斯特林数了.数据范围比较友好,可以直接递推. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<c…

题目大意: 求满足比之前的任何数小的有A个,比之后的任何数小的有B个的长度为n的排列个数. 题目分析: 首先写出递推式,设s(n,k)表示长度为n的排列,比之前的数小的数有k个. 我们假设新加入的数为1,那么s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n,k). 这个式子是第一类斯特林数的递推式. 用h(n,a,b)表示满足题目给出条件的排列个数. 得出h(n,a,b)=Σs(k,a-1)*s(n-k-1,b-1)*C(n-1,k).直观的理解就是将原排列从最高点分成两部分,两部分分别组…

早期作品,不喜轻喷. LG传送门 组合数与斯特林数的基本应用. 组合数 大家应该都熟悉它的表达式,但我们这里使用它的递推式会更加方便,下面推导组合数的递推式.设\(\binom{n}{m}\)表示在\(n\)个元素中取\(m\)个的方案数,那么如果我们考虑第\(n\)个元素取或不取:取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m-1\)个:不取的情况就要在剩下的\(n-1\)个元素中取\(m\)个.由此得到递推式: \(\qquad \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}…

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 \(n\),\(a\),\(b\),定义 \(A\) 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 \(B\) 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 \(n\) 的排列中满足 \(A = a\) 且 \(B = b\) 的排列个数.\(n \le 10^5\),答案对 \(998244353\) 取模. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\…

传送门 可以去看看litble巨巨关于第一类斯特林数的总结 设\(f(i,j)\)为\(i\)个数的排列中有\(j\)个数是前缀最大数的方案数,枚举最小的数的位置,则有递推式\(f(i,j)=f(i-1,j-1)+(i-1)\times f(i-1,j)\) 这个就是第一类斯特林数 第一类斯特林数中\(S_1(n,m)\)是\(\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)\)中\(x^m\)的系数,可以用分治\(FFT\)做到\(O(n\log^2n)\)的复杂度 首先\(n\)肯定是前缀最大值…

传送门 题意: 现在有一个人分别从\(1,n\)两点出发,包中有一个物品价值一开始为\(0\),每遇到一个价值比包中物品高的就交换两个物品. 现在已知这个人从左边出发交换了\(a\)次,从右边出发交换了\(b\)次. 现在问有多少个排列满足这一条件. 思路: 倒过来考虑的话,显然全局最大值为最后一次交换. 然后左边我们会放置\(a-1\)个递增的物品,右边放\(b-1\)个递减的物品,其余的物品我们在中间部分任意放置即可,但要保证价值在一定范围. 将问题进一步抽象,我们即要将\(n-1\)个数划…

Solution: ​ 先考虑前缀,设 \(f(i, j)\) 为长度为 \(i\) 的排列中满足前缀最大值为自己的数有 \(j\) 个的排列数. 假设新加一个数 \(i+1\) 那么会有: \[ f(i,j)\rightarrow f(i + 1, j + 1)\\ f(i, j)\times i\rightarrow f(i + 1, j) \] ​ 即将 \(i+1\) 放在那哪个位置,会对后面产生贡献,综合一下,\(f(i, j)\) 就是第一类斯特林数 \(i \brack j\) .…