题目链接 传送门 思路 如果这题是这样的: \[ F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\phi(gcd(i,j)) \] 那么我们可能会想到下面方法进行反演: \[ \begin{aligned} F(n)=&\sum\limits_{k=1}^{n}\phi(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=k]&\\ =&\sum\limits_{k=1}^{n}…

OTZ 又被吊打了...我当初学的都去哪了??? 思路:反演套路? 提交:\(1\)次 题解: 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(\varphi(i),\varphi(j)))\) 设\(c[i]=\sum_{j=1}^n[\varphi(j)==i]\) 有: \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))*c[i]*c[j]\) 欧拉反演一下,把\(gcd\)扔出来 \(\sum_{i=1}^…

题解 跟随小迪学姐的步伐,学习一下数论 小迪学姐太巨了! 这道题的式子很好推嘛 \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{d|\phi(i),\phi(j)} \phi(d) [gcd(\frac{\phi(i)}{d},\frac{\phi(j)}{d}) == 1]\) \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{d|\phi(i),\phi(j)} \phi(d) \sum_{t | \frac{\phi(i…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1594 参考及详细推导:http://www.cnblogs.com/rir1715/p/8584083.html 设\(cnt_i=\sum_{j=1}^n[\phi(j)==i]\),这个可以在\(O(n)\)处理出来. 我们用它把\(\phi(i)\phi(j)\)换元得: \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi(gcd(i,j))\times…

题目链接:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1575 万年巨坑终于填掉了…… 首先是煞笔西瓜的做题历程O_O. 原题要求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i [(i,j),(i,k)]$ 那么先推一波式子吧 balabala 我也忘记自己是怎么推的了(雾 总之最后推出来是这样的 $ ans=\sum_{i=1}^{n} f(\left\lfloor\frac{n}{i}…

题解 显然可以O(nlogn)计算 代码 //by 减维 #include<set> #include<map> #include<queue> #include<ctime> #include<cmath> #include<bitset> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #i…

现在感觉反演好多都是套路QAQ…… #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; typedef long long ll; int n,cnt,prime[N],phi[N],mu[N],vis[N]; ll ans,s[N],f[N]; void calcmu(){ memset(prime,,; memset(phi,,,sizeof(mu)); memset(s,,,sizeof(f)); mu[]=;phi[]=;memset(vis,…

题目传送门 分析: 开始玩一个小小的trick 我们发现\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot d\)是一个积性函数 所以: \(~~~~f(n)=\prod f(p_i^{a_i})\) \(~~~~f(gcd(x,y))\cdot f(lcm(x,y))=\prod f(p_i^{min(a_i,b_i)})\cdot f(p_i^{max(a_i,b_i)})\) 可以疯狂使用交换律然后... \(~~~~\prod f(p_i^{min(a_i,b_i)})\cdot…

Primitive Roots   Description We say that integer x, 0 < x < n, is a primitive root modulo n if and only if the minimum positive integer y which makes x y = 1 (mod n) true is φ(n) .Here φ(n) is an arithmetic function that counts the totatives of n,…

公钥算法的基本数论知识 公钥密码学中大部分引用了数论的成果,所以必要在介绍RSA密码体制之前,详细介绍一下所使用的几个数论的知识点 欧几里得算法 欧几里得算法主要是解决最大公约数问题,记两个正整数\(r_0\)和\(r_1\)的\(gcd\)表示: \[gcd(r_0,r_1)\] 在公钥体系中,安全性依赖于大整数的因式分解通常是不可能的.所以人们通常使用一种更有效的算法计算gcd,即欧几里得算法,此算法基于一个简单的观察: \[gcd(r_0,r_1) = gcd(r_0 - r_1, r_1…