Description 设函数g(N)表示N的约数个数.现在给出一个数M,求出所有M的约数x的g(x)的K次方和. Input 第一行输入N,K.N表示M由前N小的素数组成.接下来N行,第i+1行有一个正整数Pi,表示第Ai小的素数 有 Pi次.等式: Output 输出一个数,表示答案.只需输出最后答案除以1000000007的余数. Sample Input 2 3 1 3 Sample Output 900 [样例说明] M=2^1*3^3=54 M的约数有1,2,3,6,9,18,27,…

传送门 生成函数好题. 题意简述:一个袋子里有ccc种不同颜色的球,现要操作nnn次,每次等概率地从袋中拿出一个球放在桌上,如果桌上有两个相同的球就立刻消去,问最后桌上剩下mmm个球的概率. 第一眼反应是概率dpdpdp,怼了一波式子之后发现要TTT果断弃掉. 我们考虑推答案的式子吧. 由题可知,ccc种球有mmm个出现奇数次,c−mc-mc−m个出现偶数次. 于是我们对每一种颜色构造生成函数(指数型) 算出来f(x)=Ccm(ex−e−x2)m(ex+e−x2)c−mncf(x)=\frac{…

3028: 食物 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 497  Solved: 331[Submit][Status][Discuss] Description 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险! 我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数. 他这次又准备带一些受欢迎的食物,如:蜜桃多啦,鸡块啦,承德汉堡等等 当然,他又有一些稀奇古怪的限制: 每种…

[BZOJ2137]submultiple(数论) 题面 BZOJ 题解 首先不难发现答案就是:\(\displaystyle\prod_{i=1}^n (\sum_{j=1}^{p_i+1}j^k)\). 数据范围给定了. 发现对于\(p_i\)很小的时候,可以直接用快速幂预处理出来,这样子可以做到\(O(n+max(p)*logk)\)的复杂度. 对于\(p\)很大,\(k\)很小的点,不难知道自然数幂和是一个多项式,带几项进去拉格朗日插值或者第二类斯特林数或者带几项高斯消元或者伯努利数或者…

[BZOJ2137]submultiple Description 设函数g(N)表示N的约数个数.现在给出一个数M,求出所有M的约数x的g(x)的K次方和. Input 第一行输入N,K.N表示M由前N小的素数组成.接下来N行,第i+1行有一个正整数Pi,表示第Ai小的素数 有 Pi次.等式: Output 输出一个数,表示答案.只需输出最后答案除以1000000007的余数. Sample Input 2 3 1 3 Sample Output 900 [样例说明] M=2^1*3^3=54…

题目传送门 题目大意 给出 \(M,k\) ,求出 \[\sum_{x|M}\sigma(x)^k \] 给出 \(P_i\),满足 \(n=\prod_{i=1}^{n}a_i^{P_i}\),其中 \(a_i\) 是第 \(i\) 个质数. 对于 \(45\%\) 的数据点满足 \(k\le 10^5\),对于其余数据点满足 \(k\le 12\) . 思路 首先你发现答案就是: \[\prod_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{P_i+1}j^k) \] (因为约数个数是个积性函…

传送门 发现这是一个背包问题,而\(k\)又很大,考虑生成函数方式解决这个问题. 对于体积为\(1\)的物品的生成函数为\(\frac{1}{1 - x}\),体积为\(2\)的物品的生成函数为\(\frac{1}{1 - x^2}\),那么我们要求的就是\([x^k](\frac{1}{1-x})^n (\frac{1}{1-x^2})^m\). 而\((\frac{1}{1-x})^n = (\frac{1}{1-x^2})^n \times (1 + x)^n\),所以原生成函数等于\((…

题意 链接 Sol 生成函数入门题. 对每个物品分别列一下,化到最后是\(\frac{x}{(1-x)^4}\) 根据广义二项式定理,最后答案是\(C_{(N - 1) + 4 - 1}^{4-1} = C_{n+2}^3\) N = int(input()) print(int((N + 1) * (N + 2) * N / 6) % 10007)…

题面 题目链接 Sol 生成函数入门题 至多为\(k\)就是\(\frac{1-x^{k+1}}{1-x}\) \(k\)的倍数就是\(\frac{1}{1-x^k}\) 化简完了就只剩下一个\(\frac{1}{(1-x)^5}\) 这个东西可以直接广义二项式定理展开,也就是这个式子 \[\frac{1}{(1-x)^n} = \sum_{k=0}^{\infty} C_{n+k-1}^{k-1}x^k\] 然鹅一开始我并不知道这个东西,然后就zz的对\(\frac{1}{(1-x)}\)求了…

传送门--Vjudge 第一问很氵,如果\(K,N\)同奇偶就是\(2^K-1\),否则就是\(2^K-2\) 第二问似乎是可重排列,考虑指数型生成函数. 如何限制某些数必须要出现奇数/偶数次?考虑\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\),可以发现它的展开式中只有次数为奇数的项有值,而\(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)只有次数为偶数的项有值. 于是当\(K,N\)同奇偶时答案是\(N!(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^K\),否则是\(N!(\frac{e^x-…

传送门 先不考虑循环同构的限制,那么对于一个满足条件的序列,如果它的循环节长度为\(d\),那么与它同构的环在答案中就会贡献\(d\)次. 所以如果设\(f_i\)表示循环节长度恰好为\(i\)的满足条件的序列个数(不考虑循环同构),那么最后的答案就是\(\sum \frac{f_i}{i}\). 所以问题变成了如何求\(f_i\).注意到\(f_i\)直接求不是很好求,考虑计算\(cnt(\frac{n}{d} , \frac{m}{d})\)表示珠子数为\(\frac{n}{d}\).黑色珠…

[UOJ#450][集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) 题面 UOJ 题解 似乎是\(\mbox{Anson}\)爷的题. \(d=1\)的时候,随便怎么都行,答案就是\(k^n\). \(d=2\)的时候,可以做一个\(dp\),设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个复读机选了\(j\)个时间的方案数. 然后枚举当前这个复读机复读的次数,得到: \[f[x][j]=\sum_{i=0}^{j}[2|i]{n-j+i\choose i}f[x-1][j-i]\] 化简啥的之后…

显然构造出生成函数:则有f(x)=(1+x2+x4+……)·(1+x)·(1+x+x2)·(x+x3+x5+……)·(1+x4+x8+……)·(1+x+x2+x3)·(1+x)·(1+x3+x6+……). 化为有限,则有f(x)=x(1+x)2·(1+x+x2)·(1+x+x2+x3)/(1-x2)2·(1-x3)·(1-x4)=x·(1+x+x2)·(1+x)/(1-x)2·(1-x3)·(1-x2)=x·(1+x)/(1-x)3·(1-x2)=x/(1-x)4. 广义二项式定理暴算.则有f(…

设f(n)为n个节点的二叉树个数,g(n)为n个节点的二叉树的叶子数量之和.则答案为g(n)/f(n). 显然f(n)为卡特兰数.有递推式f(n)=Σf(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 类似地,左子树节点数为i时右子树有f(n-i-1)种情况,那么可以对左子树的叶子节点数之和计数,显然再乘2就是总数了.有递推式g(n)=2Σg(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 因为递推式是卷积形式,考虑生成函数.设F(x).G(x)分别为f(n).g(n)的生成函数(均为无穷级数).则有F…

题目大意: 有c种不同的巧克力,每种无限个,意味着取出每种的几率每次为1/c.现在你需要取n次.然后将统计每种取出来的巧克力的数量.若为偶数则舍去,否则留下一个.问最后留下m个的概率是多少. 题目分析: 由于取出每种巧克力的概率始终相同,.不妨假设取出奇数个的巧克力正好是1~m,m+1则取出偶数次,然后求出这种情况的次数.最后答案乘以C(c,m)再除以c^n即可.由于可以取出相同的巧克力,所以采用指数型生成函数. 对于前m种,构造g(x)=x/1!+x^3/3!+x^5/5!.....=sinh…

[洛谷5月月赛]玩游戏(NTT,生成函数) 题面 Luogu 题解 看一下要求的是什么东西 \((a_x+b_y)^i\)的期望.期望显然是所有答案和的平均数. 所以求出所有的答案就在乘一个逆元就好了. 现在考虑怎么算上面那个东西. 对于单个的计算,我们可以用二项式定理直接展开 得到 \[\begin{aligned}\sum(a+b)^k&=\sum\sum_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}\\&=\sum_{i=0}^kC_k^i(\sum a^i)(\sum b^{k-i…

(前排出售零食瓜子) 前言: 母函数是个很难的东西,难在数学 而ACM中所用的母函数只是母函数的基础 应该说除了不好理解外,其他都是非常简单的 母函数即生成函数,是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具. 但是ACM中的母函数木有像数学那么深究,应用的都是母函数的一些基本 (就好比方程的配方,因式的分解,写起来容易,你用电脑写起来就麻烦了,所以学计算机就不要老跟数学家瞎闹(￣3￣)) 什么是母函数 就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来,新产生的多项式就叫原来序列的母函数 至于怎么合并,…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

题目链接 https://loj.ac/problem/6519 题解 这里给出的解法基于莫比乌斯反演.可以用群论计数的相关方法代替莫比乌斯反演,但两种方法的核心部分是一样的. 环计数的常见套路就是将环视为序列.我们统计所有不同的序列,那么对于最小循环节长度为 \(d\) 的序列对应的环就会被统计 \(d\) 次.因此假设最小循环节长度为 \(x\) 的合法序列数为 \(f(x)\),那么答案即为 \(\sum_\limits{d | {\rm gcd}(n, m)} \frac{1}{d}f(…

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ LJJ 学完了二项式定理,发现这太简单了,于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下,代入了一定的值,并算出了答案. 但人口算毕竟会失误,他请来了你,让你求出这个答案来验证一下. 一共有 \(T\) 组数据,每组数据如下: 输入以下变量的值:\(n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3\),求以下式子的值: \(\begin{aligned}\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose…

题面 题解 幸好咱不是在晚上做的否则咱就不用睡觉了--都什么年代了居然还会出高精的题-- 先考虑如果暴力怎么做,令\(G(x)\)为\(F(n,k)\)的生成函数,那么不难发现\[G^R(x)=\prod_{i=1}^n(x+i)\] 也就是说如果把\(G(x)\)的系数反过来就是后面那个东西,所以对于\(n\leq 100000\)的数据直接分治\(FFT\)就行了.不过因为这里的模数不一定满足原根性质,所以要用三模数\(NTT\)或拆系数\(FFT\)(所以咱为了这题还特地去学了一下拆系数-…

题目链接: https://jzoj.net/senior/#main/show/6084 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916 题目: 题解: 注:本题解大部分摘自Imagine大佬提供在洛谷的题解 我们设$f(x)$表示最小循环节长度为x的合法序列数,那么有$ans=\sum_{d|gcd(n,m)}\frac{1}{d}f(d)$ 这是因为最小循环节为d的序列对应的环会被计算d次,比如 0101,最小循环节长度为 2(循环节为 01),其对…

生成函数 生成函数 (Generating Function) 的应用简单来说在于研究未知(通项)数列规律,用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项. 对于一个数列 aaa,称f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}f(x)=i=0∑n​ai​xi是数列 aaa 的 普通生成函数 (OGF),g(x)=∑i=0nai×xii!g(x)=\sum_{i=0}^{n}{a_i\times\frac{x^i}{i!}}g(x)=i=0∑n​ai​×i!xi…

题目链接:洛谷 大家一起 日 ♂ % EI 设\(D_i\)表示\(k=0\)时的答案.那么 \[ f(n,k)=\binom{n}{k}^2D_{n-k}k!2^k \] 意义是选择\(k\)对情侣,\(k\)对位置,全排列,左右交换,其他\(n-k\)个排.那么 \[ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2D_{n-k}k!2^k=(2n)! \] 根据这个\(\binom{n}{k}^2\),我们定义["不知道是什么"生成函数]是 \[ F(z)=\sum_{k\g…

题目链接 设序列a的生成函数$\large f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i$,则操作1,2,3分别对应将$f(x)$乘上$\Large\frac{1}{1-x},\frac{1}{1-x^2},\frac{1}{1-x^3}$,如果操作1,2,3分别进行了p1,p2,p3次,则最终序列的生成函数为$\Large\frac{f(x)}{(1-x)^{p_1}(1-x^2)^{p_2}(1-x^3)^{p_3}}$,套个二项式定理+多项式乘法+多项式逆元即可.由…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5488 题目大意 求一个长度为$n$的序列的$k$阶差分/前缀和. 解题思路 先考虑前缀和怎么做 搞出来生成函数就是 \((\sum_{i=0}^na_ix^i)*(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k\) 然后根据常识我们知道$(\sum_{\infty}xi)k=\sum_{\infty}\binom{i+k-1}xi$,当然也可以理解为$xi$的系数就是每次会往后跳任意格(可以是$0$),然…

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…

因为垃圾电脑太卡了就重开了一个... 前传:多项式Ⅰ u1s1 我预感还会有Ⅲ 多项式基础操作: 例题: 26. CF438E The Child and Binary Tree 感觉这题作为第一题还蛮合适的( 首先我们设 \(f_i\) 为权值之和为 \(i\) 的符合要求的二叉树的个数. 显然可以枚举根节点的权值.左子树的权值之和进行转移. 也就是 \(f_i=\sum\limits_{x\in S}\sum\limits_{y=0}^{i-S}f_yf_{i-x-y}\) 如果我们记 \(…

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演 今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 \(n\) 次方程 \(x^n-1=0(x\in\mathbb{C})\),在复数域上有 \(n\) 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 \(n\) 等分点,我们将这些单位根从 \(x\) 轴正半轴开始顺时针依次…

uoj450 [集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) uoj 题解时间 首先直接搞出单个复读机的生成函数 $ \sum\limits_{ i = 0 }^{ k } [ d | i ] \frac{ x^{ i } }{ i! } $ . 容易想到直接上单位根反演: \[\begin{aligned} \sum\limits_{ i = 0 }^{ k } [ d | i ] \frac{ x^{ i } }{ i! } & = \sum\limits_{ i = 0 }^{ k…