已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$ 证明:显然$a_n\in(0,1)$故由约旦不等式: $a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right)\ge\dfrac{2}{\pi}\cdot(\dfrac{\pi}{2}a_n)=a_n$, 即$a_n$单调递…

Loj 538 递推数列 出题人:这题提高难度吧.于是放在了%你赛的 \(D1T2\) . 递推式为 \(a_i=k*a_{i-1}+a_{i-2}\) , 注意到 \(k\in \mathbb{N_+}\) ,容易发现一个比较显然的性质: 若 \(a_i>a_{i-1}\geq 0\) , 或者 \(a_i<a_{i-1}\leq 0\) ,则该数列在第 \(i-1\) 项后单调上升或单调下降. 基于这个性质,一个比较自然的想法是,一直爆算 \(a_i\) ,使得数列 \(a\) 单调后退出…

The Nth Item \[ Time Limit: 1000 ms \quad Memory Limit: 262144 kB \] 题意 给出递推式,求解每次 \(F[n]\) 的值,输出所有 \(F[n]\) 的 \(xor\) 值. 思路 对于线性递推数列,可以用特征方程求出他的通项公式,比如这题 \[ F[n] = 3F[n-1]+2F[n-2] \\ x^2 = 3x+2 \\ x = \frac{3\pm \sqrt{17}}{2} \] 令 \(F[n] = C_1x_1^n…

时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:6194 解决:864 题目描述: 给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q.这里n >= 2. 求第k个数对10000的模. 输入: 输入包括5个整数:a0.a1.p.q.k. 输出: 第k个数a(k)对10000的模. 样例输入: 20 1 1 14 5 样例输出: 8359 来源: 2009年清华大学计算机研究生机试真题 思路: 直接一步一步的递推肯定是要超时的.对这种求第n个数的递推题,有logn…

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4565 So Easy! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 5525    Accepted Submission(s): 1841 Problem Description A sequence Sn is defined as:Where a, b,…

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

题目地址:http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1081 题目描述: 给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q.这里n >= 2. 求第k个数对10000的模. 输入: 输入包括5个整数:a0.a1.p.q.k. 输出: 第k个数a(k)对10000的模. 样例输入: 20 1 1 14 5 样例输出: 8359 #include <stdio.h> #define MOD 10000 typedef struct ma…

链接: https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3185 题意: A.B两人赛马,最终名次有3种可能:并列第一:A第一B第二:B第一A第二.输入n(1≤n≤1000),求n人赛马时最终名次的可能性的个数除以10056的余数. 分析: 设答案为f(n).假设第一名有i个人,有C(n,i)种可能性,接下来有f(n-i)种可能性,因此答案…

P4723 [模板]常系数齐次线性递推 题目描述 求一个满足$k$阶齐次线性递推数列${a_i}$的第$n$项. 即:$a_n=\sum\limits_{i=1}^{k}f_i \times a_{n-i}$ 输入输出格式 输入格式: 第一行两个数$n$,$k$,如题面所述. 第二行$k$个数,表示$f_1 \ f_2 \ \cdots \ f_k$ 第三行$k$个数,表示$a_0 \ a_1 \ \cdots \ a_{k-1}$ 输出格式: 一个数,表示 $a_n \% 998244353$…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2842 题目大意:棒子上套环.第i个环能拿下的条件是:第i-1个环在棒子上,前i-2个环不在棒子上.每个环可以取下或放上,cost=1.求最小cost.MOD 200907. 解题思路: 递推公式 题目意思非常无聊,感觉是YY的. 设$dp[i]$为取第i个环时的总cost. $dp[1]=1$,$dp[2]=2$,前两个环取下是没有条件要求的. 从i=3开始,由于条件对最后的环限制最大,所以从最后一…