Description 共 \(T\) 组数据.对于每组数据,给定 \(a, b, n\),求 \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \gcd(a^i - b^i, a^j - b^j)\),并取一个让人迷惑的模数 \(10^9 + 9\). 题目保证 \(\gcd(a, b) = 1\) 且 \(1 \leq T \leq 10, 1 \leq n \leq 10^7, 1 \leq a < b \leq 10^9\). Solution 因为笔者太蒻赛时并没…

0x00 前置芝士 数位dp考试里出现的小神题?? 显然考场会选择打表找规律. 数位dp + 矩阵快速幂 0x01 题目描述 给定正整数 \(n\),现有如下方程 \(x \bigoplus 3x = 2x\),其中 \(\bigoplus\) 表示按位异或. 任务如下: 求出小于等于 \(n\) 的正整数中,有多少个数是该方程的解 求出小于等于 \(2^n\) 的正整数中,有多少个数是该方程的解,答案对 \(10^9 + 7\) 取模 0x02 分析 第一问 试证明满足 \(x \bigopl…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率随机.求 \(\{b_n\}\) 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le6\),\(a_i\le10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   欺负这个 \(n\) 小得可爱,直接 \(\mathcal O(n!)\) 枚举 \(…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 个小球,坐标为 \(x_{1..n}\):还有 \(m\) 个洞,坐标为 \(y_{1..m}\),保证上述坐标两两不同.每次操作可以将所有小球向左或向右平移一个单位,若有小球的坐标与洞重合则掉进洞内.求所有小球都进洞时有多少种不同的状态.答案对 \((10^9+7)\) 取模.   \(n,m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   ARC 的题嘛--都这副德行.(   不考虑…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带权无向图,边有权值和黑白颜色,求恰选出 \(K\) 条白边构成的最小生成树.   \(n\le5\times10^4\),\(m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   沉迷造题,好久没写题解了 qwq.   本题是 WQS 二分的板题.记 \(f(x)\) 表示恰选 \(x\) 条白边构成的最小生成树,不难发现 \((x,f(x))\) 在坐标轴上…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   数轴从 \(1\sim 2n\) 的整点上有 \(n\) 个闭区间.你只知道每个区间的部分信息(可能不知道左或右端点,或者都不知道),问是否存在满足已知信息的 \(n\) 个区间,满足: 每个整点是恰好一个区间的端点. 所有包含同一个整点的区间长度相等.   输入信息可能不合法.   \(n\le100\). \(\mathcal{Solution}\)   老细节题了.(   考虑数轴上连续的一段区间 \([l,r]\),…

写的大多只是思路,比较简单的细节和证明过程就不放了,有需者自取. 基环树简介 简单说一说基环树吧.由名字扩展可得这是一类以环为基础的树(当然显然它不是树. 通常的表现形式是一棵树再加一条非树边,把图画出来是一种向外发散的有趣图案. 体现在[题目条件]上就是一个 \(n\) 个点 \(n\) 条边的连通图或保证每一个点的入度 / 出度为 \(1\) (有向图:前者称为外向树,后者称为内向树). 常常会把一些在树上做的 dp 放在基环树上以提高题目难度. 惯用思路是先把以环上的点为根的子树内的信息跑…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在一个 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上摆 \(n\) 个车,求满足: 所有格子都可以被攻击到. 恰好存在 \(k\) 对车可以互相攻击.   的摆放方案数,对 \(998244353\) 取模.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   这道<蓝题>嗷,看来兔是个傻子.   从第一个条件入手,所有格子可被攻击,那就有「每行都有车」或「每列都有车」成立.不妨…

刷了一下,写一下. T1. 天天爱射击 可以这样想. 我们二分一下每一块木板在什么时刻被击碎. 然后直接用主席树维护的话是\(O(nlog^2n)\)的. 会\(T\),而且是一分不给那种... 那么换个想法,既然都用主席树了,还二分啥. 可以直接主席树上查区间排名. 似乎也可以整体二分. 复杂度\(O(nlogn)\) T2. 机场 很神仙的一个网络流. 首先离散时间点. 然后先假设飞机都停到\(B\)区了. 那么一架飞机是否在\(A\)处停,有两种选择. 一种停一种不停. 分别建边,然后费用…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 张卡牌,第 \(i\) 张的权值 \(w_i\in\{1,2,3\}\),且取值为 \(k\) 的概率正比于 \(p_{i,k}\).依照此规则确定权值后,你不停抽卡,每次抽到第 \(i\) 张卡牌的概率正比于 \(w_i\),直到所有卡都被抽过至少一次.   此后,记 \(t_i\) 表示第 \(i\) 张牌第一次被抽到的时间.给定 \(n-1\) 条形如 \(\lang u,v\rang\) 的限制,表示…