\(\zeta (2n)\)的几种求法 目录 $\zeta (2n)$的几种求法 结论 欧拉的证明 进一步探索,$\zeta$ 函数.余切.伯努利数的关系 傅立叶分析证明 留数法证明 参考资料 结论 \[\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \] 欧拉的证明 PS:欧拉在<无穷小分析引论中>,是对 \(e^x + e^{-x}\) 的展开系数进行分析,而下文是对 \(\frac{\sin(x)}{x}\) 分析,两者几乎没…

「BJWC2018」Border 的四种求法 题目描述 给一个小写字母字符串 \(S\) ,\(q\) 次询问每次给出 \(l,r\) ,求 \(s[l..r]\) 的 Border . \(1 \leq n,q \leq 10^5\) 解题思路 : 求 Border 等价于在 \([l, r)\) 中找一个点 \(i\) ,满足 \(lcs(i, r) \geq i -l + 1\) ,且 \(i\) 最大. 考虑把问题丢到 \(\text{Sam}\) 上,那么满足的条件变为 \(len(l…

\(LCS:\) 对于两个长度均为 \(N\) 的数列 \(A\) 和 \(B\) ,存在一个数列 \(C\) 使得 \(C\) 既是 \(A\) 的子序列有事 \(B\) 的子序列,现在需要求这个数列的最长的长度,这就是最长公共子序列. \(solution\quad 1:\) 这道题是世界上最经典的DP题之一,我们可以知道我们做需要求的子序列中的任意一个元素在 \(A\) 和 \(B\) 中都存在,所以我们可以设出状态即 \(F[i][j]\) 表示我们已经匹配了 \(A\) 的前 \(i\…

背景 背景:为锻炼代同学,老师给了她一个反向工程微信"跳一跳"小游戏的任务,希望做一个一样的出来.跳一跳中,有方块,有小人,小人站在方块上. 这个游戏的玩法是,用手指按住手机屏幕,松开手指小人飞出.随着屏幕按压时间的增加,跳跃距离也会增加.希望得到小人跳跃的曲线. 观察到游戏中的抛物线并不对称,猜测它是在三维空间建模投影到一个平面上的.看<交互式计算机图形学>(Edward Angel,交互式计算机图形学,电子工业出版社,2012.5,p141)中,正等测(正等测等价于等轴…

也许更好的阅读体验 本文主要内容是对武汉市第二中学吕凯风同学的论文<集合幂级数的性质与应用及其快速算法>的理解 定义 集合幂级数 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 \(S\) 的集合幂级数为 \(f\) ,那么我们就可以把集合 \(S\) 表示为如下形式 \(\begin{aligned}f=\sum _{T\subseteq S}f_{T}\cdot x^{T}\end{align…

题目描述 给一个小写字母字符串 S ,q 次询问每次给出 l,r ,求 s[l..r] 的 Border . Border: 对于给定的串 s ,最大的 i 使得 s[1..i] = s[|s|-i+1..|s|], |s| 为 s 的长度. 题解 这题的描述很短,给人一种很可做的假象. 暴力1:每次对区间lr做一次KMP,求出border数组,复杂度nq. 暴力2:构建后缀自动机,用线段树合并维护出right集合考虑到两个串的最长后缀为他们在parent树上的LCA的len,所以我们可以在pa…

后缀自动机构造后缀数组. 因为有个SB题洛谷5115,它逼迫我学习后缀数组...(边分树合并是啥?). 一些定义:sa[i]表示字典序排第i的后缀是从哪里开始的.Rank[i]表示后缀i的排名.height[i]表示排名i和i - 1的后缀的最长公共前缀. 首先我们可以建出后缀树,然后按字典序DFS即可获得sa数组和rank数组. 接下来要求height,使用经典后缀数组的求法即可. 说一下关于后缀数组经典倍增构造方法的一些理解.关于网上流传的那个锯齿形图,其实就是把上一次的两个排名拼接起来进行…

description luogu 给一个小写字母字符串\(S\),\(q\)次询问每次给出\(l,r\),求\(s[l..r]\)的\(Border\). solution 我们考虑转化题面:给定\(l,r\),求满足\(lcs(i,r)\ge i-l+1\)的最大的\(i\). 对于\(lcs(i,r)\),考虑对\(S\)构建\(SAM\),那么我们知道\(lcs\)的可能取值就是从后缀\(r\)所代表的节点沿着\(fail\)树到根节点的路径上节点的\(len\)的取值. 那么我们得到了…

题目链接 题意 区间 boder \(n,q\leq 2*10^5\) Sol (暴力哈希/SA可以水过) 字符串区间询问问题,考虑用 \(SAM\) 解决. boder相当于是询问区间 \([l,r]\) 内满足 \(lcs(i,r)>=i-l+1\) 的最大的 \(i\) 那么首先可以得到一个暴力做法,我们定位 \([1,r]\) 这个串的节点,那么相当于要询问的就是它的祖先.每一个点可以直接把它的 \(len\) 值视为 \(lcs(i,r)\).这样的话用线段树合并维护出endpos后一…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/LuoguP4482.html 题意 给定一个字符串 S,有 q 次询问,每次给定两个数 L,R ,求 S[L...R] 的最长前后缀. $$q,|S|\leq 2 \times 10 ^ 5$$ 题解 真是一道有趣的字符串题. 首先我们给 S 建出 SAM ,并用线段树合并预处理出每一个节点的 Right 集合. 我们要做的是找到最大的 $p$ 满足 $p<R, S[L...p] = S[R-p+L...R]…