题目链接: [BJOI2019]光线 设$F_{i}$表示从第$1$面玻璃上面向下射入一单位光线,穿过前$i$面玻璃的透光率. 设$G_{i}$表示从第$i$面玻璃下面向上射入一单位光线,穿过前$i$面玻璃的反光率. 那么可以推出: $F_{i}=F_{i-1}a_{i}\sum\limits_{k=0}^{+\infty}(G_{i-1}b_{i})^k$ $G_{i}=b_{i}+G_{i-1}a_{i}^2\sum\limits_{k=0}^{+\infty}(G_{i-1}b_{i})^…

题意 题目链接 分析 令 \(f_i\) 表示光线第一次从第一块玻璃射出第 \(i\) 块玻璃的比率. 令 \(g_i\) 表示光线射回第 \(i\) 块玻璃,再射出第 \(i\) 块玻璃的比率. 容易得到: \[\begin{cases}f_i=f_{i-1}a_i+f_{i-1}b_ig_i\\g_i=b_{i-1}a_i+b_{i-1}b_ig_i+a_{i-1}g_{i-1}a_i+a_{i-1}g_{i-1}b_ig_i\end{cases}\] 对于 (2) 式,移项可得 \[g_i…

[BJOI2019]光线(递推) 题面 洛谷 题解 假装玻璃可以合并,假设前面若干玻璃的透光率是\(A\),从最底下射进去的反光率是\(B\),当前的玻璃的透光率和反光率是\(a,b\). 那么可以得到转移: \[A=A'\sum_{j=0}^\infty B'^j*b^j*a=\frac{A'a}{1-B'b}\] \[B=b+a\sum_{j=0}^\infty B'^j*b^j*a*B'=b+\frac{B'a^2}{1-B'b}\] 然后就做到线性了. #include<iostream…

题面 传送门 题解 把\(a_i\)和\(b_i\)都变成小数的形式,记\(f_i\)表示\(1\)单位的光打到第\(i\)个玻璃上,能从第\(n\)个玻璃下面出来的光有多少,记\(g_i\)表示能从第\(i\)块玻璃反射出来的光有多少,,递推式的话,我们枚举一下这束光在\(i\)和\(i+1\)块玻璃之间反射了几次就可以了 \[ \begin{aligned} f_i &=a_i\left(f_{i+1}+g_{i+1}\times b_i\times f_{i+1}+g_{i+1}\time…

传送门 先考虑\(n=1\)的情况不是输入数据都告诉你了吗 然后考虑\(n=2\),可以光线是在弹来弹去的废话,然后射出去的光线是个等比数列求和的形式,也就是\(x_1\sum_{i=1}^{\infty} d^i=x_1\frac{1}{1-d}\),然后弹回去的光线第一个光线就是\(b_i\),然后后面也是等比数列求和,算一下就好了 \(n>2\),我们做完\(n-1\)后,可以把刚刚算过的玻璃看成一块,因为已经知道会射出去多少以及弹回去多少,然后就变成了\(n=2\),那么递推做即可 我写…

看起来很麻烦,做起来并不难的题 以下设:$a_i=\frac{a_i}{100},b_i=\frac{b_i}{100}$ 显然,如果$b_i=0$的话,直接求$\Pi a_i$就是答案. 解决反射问题是这个问题的关键 我们显然可以认为一束光透过之后,可以等其他的光一起**透过干净** 再往后走. 这样就存在Dp的阶段了. 网上很多从“前i个整体透光率”“整体反光率”什么的,或者枚举反射次数,还要等比数列求和.其实不用这么麻烦. 设$f[i][1]$表示,一单位的光从玻璃i左边射过来,**最终透…

2476: 战场的数目 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 58  Solved: 38[Submit][Status][Discuss] Description Input 输入文件最多包含25组测试数据,每个数据仅包含一行,有一个整数p(1<=p<=109),表示战场的图形周长.p=0表示输入结束,你的程序不应当处理这一行. Output 对于每组数据,输出仅一行,即满足条件的战场总数除以987654321的余数. Sample I…

一.递推: 所谓递推,简单理解就是推导数列的通项公式.先举一个简单的例子(另一个NOI练习题,但不是这次要解的问题): 楼梯有n(100 > n > 0)阶台阶,上楼时可以一步上1阶,也可以一步上2阶,也可以一步上3阶,编程计算共有多少种不同的走法. 这个问题可以用递归来进行解决,但是解题时间1秒明显不够用.怎么办呢,可以考虑找到“规律”,然后推导公式解决问题,开始画图分析: 这是4个台阶时的全部7种走法,记作f(4)=7.现在观察右侧绿色走过的部分,1234四种情况是3个台阶时的4种走,法记…

Time limit: 1.0 second Memory limit: 64 MB On the Day of the Flag of Russia a shop-owner decided to decorate the show-window of his shop with textile stripes of white, blue and red colors. He wants to satisfy the following conditions: Stripes of the…

平时有关线性递推的题,很多都可以利用矩阵乘法来解决. 时间复杂度一般是O(K3logn)因此对矩阵的规模限制比较大. 下面介绍一种利用利用Cayley-Hamilton theorem加速矩阵乘法的方法. Cayley-Hamilton theorem: 记矩阵A的特征多项式为f(x). 则有f(A)=0. 证明可以看 维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley–Hamilton_theorem#A_direct_algebraic_proof 另外我在高…