简单的容斥入门题.. 容斥基本的公式早就知道了,但是一直不会写. 下午看到艾神在群里说的“会枚举二进制数就会容斥”,后来发现还真是这样.. 然后直接贴代码了 #include <iostream> #include <stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<string> #include<ctype.h> using namespace std; ]; lon…

How many integers can you find Time Limit: 12000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 6710    Accepted Submission(s): 1946 Problem Description   Now you get a number N, and a M-integers set, you shou…

这个时候考过:安师大附中集训 Day2 当时看shadowice1984的做法,但是没有亲自写,,, 雅礼集训考试的时候鼓捣半天,被卡常到80pts,要跑9s 卡不动. 正解实际是: 3重容斥 1.随便选-一个对角线空+两个对角线空 2.2^m枚举每一个位置放不放 3.对角线空——若干个位置不空,再容斥 A.一个对角线,枚举i个放在对角线上,C(*,i)组合数,剩下的方案数是(n-sz-i)! B.两个对角线,按圈DP,f[i][j]i圈,选了j个在对角线上方案数.枚举四个角放一个.对角放两个,…

Problem Description The school set up three elective courses, assuming that these courses are A, B, C. N classes of students enrolled in these courses.Now the school wants to count the number of students who enrolled in at least one course in each cl…

P1600 天天爱跑步 题目描述 小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做<天天爱跑步>的游戏.<天天爱跑步>是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务. 这个游戏的地图可以看作一一棵包含 n个结点和 n−1条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达.树上结点编号为从1到n的连续正整数. 现在有m个玩家,第i个玩家的起点为 Si​,终点为 Ti​ .每天打卡任务开始时,所有玩家在第00秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地…

LINK:集合计数 容斥简单题 却引出我对广义容斥的深思. 一直以来我都不理解广义容斥是为什么 在什么情况下使用. 给一张图: 这张图想要表达的意思就是这道题目的意思 而求的东西也和题目一致. 特点:求出某个集合恰好为k的个数. 转换:求出集合>=k的个数或者<=k的个数 从而使用广义容斥容斥出来答案. 关于>=k个数 如上图可见 又很多重复的地方 而广义容斥也是在这么多重复的地方使用的 而并非严格>=k的个数. 换个说法 >=k的方案数 可能有一些存在重复 但是其特点是&g…

[BZOJ5287][HNOI2018]毒瘤(动态规划,容斥) 题面 BZOJ 洛谷 题解 考场上想到的暴力做法是容斥: 因为\(m-n\le 10\),所以最多会多出来\(11\)条非树边. 如果就是一棵树的话,显然答案就是独立集的个数. 非树边\(2^{11}\)枚举,强制非树边的两端同时备选导致不合法,容斥计算答案即可. 这样子的复杂度是\(O(2^{11}n)\),估算出来是\(2s\),然而在\(HNOI\)考场跑要\(20s\)(大雾 考虑如何优化这个东西. 我们\(2^{11}\)…

[Luogu4707]重返现世(min-max容斥) 题面 洛谷 求全集的\(k-max\)的期望 题解 \(min-max\)容斥的证明不难,只需要把所有元素排序之后考虑组合数的贡献,容斥系数先设出来后也不难解出. 那么我们来考虑如何求解\(k-max\),设出容斥系数\(f(|T|)\) \[kmax(S)=\sum_{T\subset S}f(|T|)min(T)\] 显然是从小到大考虑每个元素作为\(min\)时候的贡献,并且我们只需要其中第\(k\)大的贡献. 假设\(n=|S|\),…

[LOJ#6072]苹果树(矩阵树定理,折半搜索,容斥) 题面 LOJ 题解 emmmm,这题似乎猫讲过一次... 显然先\(meet-in-the-middle\)搜索一下对于每个有用的苹果数量,满足权值小于\(lim\)的方案数 ,那么只需要考虑它们构成生成树的方案数就好了. 显然有用的可以和所有的有用的或者是坏的连边,好的但不有用的只能和坏的连边,而坏的随意. 但是这样子算出来的结果是至多,因此还需要额外容斥一下计算生成树的个数. #include<iostream> #include&…

<题目链接> 题目大意: 给你m个数,其中可能含有0,问有多少小于n的正数能整除这个m个数中的某一个. 解题分析: 容斥水题,直接对这m个数(除0以外)及其组合的倍数在[1,n)中的个数即可,因为可能会重复计算,所以在叠加的时候进行容斥处理,下面用的是位运算实现容斥. #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namesp…

[LOJ#6374]网格(二项式反演,容斥) 题面 LOJ 要从\((0,0)\)走到\((T_x,T_y)\),每次走的都是一个向量\((x,y)\),要求\(0\le x\le M_x,0\le y\le M_y\),并且不能不走.同时有\(k\)个限制,表示不能同时\(x=y=k_i\),保证所有\(k_i\)都是\(G\)的倍数.求恰好跳了\(R\)步到达的方案数. 题解 如果不存在不能走的点的限制,那么两维可以分开考虑.比如接下来只考虑\(x\)上的问题. 因为存在步长的限制,所以设\…

[HDU4336]Card Collector(Min-Max容斥) 题面 Vjudge 题解 原来似乎写过一种状压的做法,然后空间复杂度很不优秀. 今天来补一种神奇的方法. 给定集合\(S\),设\(max\{S\}\)为\(S\)中的最大值,\(min\{S\}\)为集合\(S\)中的最小值. 那么我们可以得到: \(max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min\{T\}\) 证明的话,大概就是如果你钦定一个最小值,并且它强制出现, 如果枚举所有子集…

[BZOJ4710]分特产(容斥) 题面 BZOJ 题解 比较简单吧... 设\(f[i]\)表示至多有\(i\)个人拿到东西的方案数. \(f[i]=\prod_{j=1}^m C_{m+i-1}^{i-1}\) 现在要算的是恰好有\(n\)个人拿到东西的方案数. \(ans=\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i}C_n^if[i]\) 没了... #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #i…

[BZOJ3622]已经没有什么好害怕的了(动态规划,容斥) 题面 BZOJ 题解 很明显的,这类问题是要从至少变成恰好的过程,直接容斥即可. 首先我们要求的是(糖果>药片)=(药片>糖果)+k,再加上保证不存在相同的数, 所以(糖果>药片)+(药片>糖果)=n,解出(糖果>药片)=\(\frac{n+k}{2}\). 此时我们要求的至少就是"至少存在\(i\)对(糖果>药片)的方案数". 直接算很麻烦,那就\(dp\)算.首先进行排序. 设\(f[…

[BZOJ1853]幸运数字(搜索,容斥) 题面 BZOJ 洛谷 题解 成功轰下洛谷rk1,甚至超越了一个打表选手 这题思路很明显吧,先搞出来所有范围内的合法数字,然后直接容斥, 容斥的话显然没有别的办法解决,只能够爆搜, 那么我们就来大力剪枝: 1.如果当前的所有选定的数的\(lcm\)大于\(r\)直接退出,这不显然吗.. 2.如果一个合法数字是另外一个合法数字的倍数,那么这个数没有意义,这不还是显然吗. 3.把合法的所有数字从大往小排序,这样爆搜的时候更快突破边界. 好了,这样子就可以在洛…

[BZOJ4455]小星星(动态规划,容斥) 题面 BZOJ 洛谷 Uoj 题解 题意说简单点就是给定一张\(n\)个点的图和一棵\(n\)个点的树,现在要让图和树之间的点一一对应,并且如果树上存在一条边,那么图上对应的点对之间也要存在边. 我们直接求解显然很麻烦,一一对应是一个很不好算的东西. 那么我们先要求并不需要一一对应,随意对应即可,最后再减掉不合法的方案,这样就可以用容斥来解决. 怎么容斥呢?无非是考虑没有一一对应的关系,那么我们先暴力枚举一下哪些点在图上可以和树上的点进行对应,其他的…

[BZOJ4596]黑暗前的幻想乡(矩阵树定理,容斥) 题面 BZOJ 有\(n\)个点,要求连出一棵生成树, 指定了一些边可以染成某种颜色,一共\(n-1\)种颜色, 求所有颜色都出现过的生成树方案数. 题解 一脸的容斥啊. 先矩阵树定理暴力算出所有符合条件的生成树,然后减去\(n-2\)中颜色的方案数, 再加上\(n-3\)种颜色的方案数...... 所以直接暴力枚举颜色的子集,每次矩阵树就好了. 时间复杂度大概是\(O(2^{n-1}n^3log)\)??? 虽然\(log\)小的不行,甚…

[BZOJ4361]isn(动态规划,容斥) 题面 BZOJ 题解 首先我们如果确定了一个不降序列,假设它的长度为\(i\), 那么可行的方案数为\(i*(n-i)!\),但是这样有一些非法的情况,即删掉最后一个数之前已经是有序的了. 那么设\(g[i]\)表示长度为\(i\)的不降序列的总数 因为所有长度为\(i\)的不降序列一定包含在长度为\(i+1\)的不降序列之中 如果先构成了一个长度为\(i+1\)的不降序列,再删掉了一位,那么这样是不合法的. 所以长度为\(i\)的不降序列的贡献为:…

[BZOJ4767]两双手(动态规划,容斥) 题面 BZOJ 题解 发现走法只有两种,并且两维坐标都要走到对应的位置去. 显然对于每个确定的点,最多只有一种固定的跳跃次数能够到达这个点. 首先对于每个点都计算出两种跳跃方法的次数. 然后按照跳跃次数排序. 显然只可能从跳跃次数少的跳跃到跳跃次数多的点. 考虑\(f[i]\)表示到达第\(i\)个点且不经过前面任何一个障碍点的方案数. \(f[i]=C_{x+y}^x\),其中\(x,y\)表示两种方法跳跃的次数. 然后容斥减去经过前面任何一个点的…

[BZOJ2339]卡农(递推,容斥) 题面 BZOJ 题解 先简化一下题意: 在\([1,2^n-1]\)中选择不重复的\(m\)个数,使得他们异或和为\(0\)的方案数. 我们设\(f[i]\)表示选择\(i\)个数异或和为\(0\)的方案数. 直接算是很麻烦的,所以我们反过来,总数减去不合法的. 因为确定了前\(i-1\)个数最后一个数就已经知道了. 所以总方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\),不合法的有两种,一种是选择了\(0\),一种是有重复. 选择了\(0\),意味着前\(…

[UOJ#390][UNR#3]百鸽笼(动态规划,容斥) 题面 UOJ 题解 发现这就是题解里说的:"火山喷发概率问题"(大雾 考虑如果是暴力的话,你需要记录下当前每一个位置的鸽笼数量,因为概率会随着你空的鸽笼的数量而变化. 我们可以把这个问题转变为给一个长度为\(N\)的序列填数的问题. 直接算似乎不是很好算(因为直接算是要钦定在最后,那么其他的东西放满之后每个位置被选择的概率会被改变),我们把最后一个被填满的恰好是\(i\),变成至少有一个集合\(S\)在\(i\)后面被填满. 因…

[BZOJ4487][JSOI2015]染色问题(容斥) 题面 BZOJ 题解 看起来是一个比较显然的题目? 首先枚举一下至少有多少种颜色没有被用到过,然后考虑用至多\(k\)种颜色染色的方案数. 那么显然没有颜色的限制,只有行列的限制. 那么我们钦定行必须被染色,这样子每一行的染色方案之和列数和颜色数相关,那么再容斥一下有多少列没有被染色就行了. #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define MA…

[CF285E]Positions in Permutations(动态规划,容斥) 题面 CF 洛谷 题解 首先发现恰好很不好算,所以转成至少,这样子只需要确定完一部分数之后剩下随意补. 然后套一个二项式反演进行容斥就可以得到答案了. 考虑怎么算至少\(m\)个的贡献, 设\(f[i][j][S]\)表示当前填到了位置\(i\),一个有\(j\)个贡献,\(i\)和\(i+1\)的使用情况是\(S\)的方案数,每次枚举一下这个位置是填\(i+1\)还是\(i-1\)还是其他就可以进行转移了.…

[51nod1355]斐波那契的最小公倍数(min-max容斥) 题面 51nod 题解 显然直接算还是没法算的,所以继续考虑\(min-max\)容斥计算. \[lcm(S)=\prod_{T\subset S}gcd(T)^{(-1)^{|T|+1}}\] 而斐波那契数列满足\(gcd(f(a),f(b))=f(gcd(a,b))\), 于是和最小公倍佩尔数一样的类似处理 \[lcm(S)=\prod_{i=1}^{\infty}f(i)^{\sum_{T\subset S}[gcd(T)=…

[BZOJ4833]最小公倍佩尔数(min-max容斥) 题面 BZOJ 题解 首先考虑怎么求\(f(n)\),考虑递推这个东西 \((1+\sqrt 2)(e(n-1)+f(n-1)\sqrt 2)=e(n)+f(n)\sqrt 2\) 拆开之后可以得到:\(e(n)=e(n-1)+2f(n-1),f(n)=f(n-1)+e(n-1)\). 把每一层的\(e\)都给展开,得到:\(\displaystyle f(n)=1+f(n-1)+2\sum_{i=1}^{n-2}f(i)\) 然后差分搞…

[CTS2019]随机立方体(容斥) 题面 LOJ 洛谷 题解 做这道题目的时候不难想到容斥的方面. 那么我们考虑怎么计算至少有\(k\)个极大值的方案数. 我们首先可以把\(k\)个极大值的位置给确定出来,方案数是\(\displaystyle {n\choose k}{m\choose k}{l\choose k}(k!)^3\),乘上\(k!\)是为了确定之间的顺序关系,即我们先确定\(xyz\)三维,然后把这三维要一一对应到点才行.假设这个值是\(w[k]\). 剩下要填的是两个部分,一…

概念 Min-Max容斥,又称最值反演,是一种对于特定集合,在已知最小值或最大值中的一者情况下,求另一者的算法. 例如: $$max(a,b)=a+b-min(a,b) \\\ max(a,b,c)=a+b+c-min(a,b)-min(a,c)-min(b,c)+min(a,b,c)$$ 显然,将所有数取相反数,易知用最大值求最小值的公式与用最小值求最大值的公式形式相同.以下只讨论用最小值求最大值的方法. 形式 记 $Max(S)$ 表示集合 $S$ 的最大值,$Min(S)$ 表示集合 $S…

题目传送门 https://vjudge.net/problem/HDU-4336 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336 题解 minmax 容斥模板题. 一个集合 \(S\) 的至少有一个邮票出现的最早时间是 \(\frac 1{\sum\limits_{i\in S} p_i}\). 时间复杂度 \(O(2^n)\). #include<bits/stdc++.h> #define fec(i, x, y) (int i = head…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4710 题解 本来想去找一个二项式反演的题的,结果被 https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/11407185.html 骗了,给的最后一道题是一个基础容斥的题. (不过反演的本质就是容斥呢,如果二项式反演的 \(g(n)\) 的 \(n\) 是 \(0\) 的话也就跟最常见的容斥差不多了) 考虑如果钦定有 \(k\) 个同学没有拿到特产,那么特产中剩下的同学就…

正解:$exLucas$+容斥 解题报告: 传送门! 在做了一定的容斥的题之后再看到这种题自然而然就应该想到容斥,,,? 没错这题确实就是容斥,和这题有点儿像 注意下的是这里的大于和小于条件处理方式不同昂$QwQ$ 对于大于等于,直接在一开始就先给它那么多就好,就先提前把$m-=\sum_{i=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}} A_i$,这样就只剩小于等于的条件了 小于等于,一看最多就8个,显然就成了经典容斥套路题了鸭, 于是就枚举哪个爆了,然后可重排列搞下,容斥下,就做完了 放下推…