题面 题目要我们求的东西可以化为: \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}2*gcd(i,j)-1\] \[-nm+2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\] \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)=\) \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}\phi(d)\] \[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{…

刚学的欧拉反演(在最后)就用上了,挺好$qwq$ 题意:求$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(2*gcd(i,j)-1)$ 原式 $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}gcd(i,j)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^M\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1…

[BZOJ2005][Noi2010]能量采集 Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,…

Preface 最近反演题做多了看什么都想反演.这道题由于数据弱,解法多种多样,这里简单分析一下. 首先转化下题目就是对于一个点\((x,y)\),所消耗的能量就是\(2(\gcd(x,y)-1)+1=2\cdot\gcd(x,y)-1\)(小学奥数题) 所以求和就是求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2\cdot\gcd(i,j)-1=2\cdot\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)-nm\),因此主要问题就变成了求解\(\sum_{i=1}^n…

题意:问题可以转化成求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(2*gcd(i,j)-1)$ 将2和-1提出来可以得到:$2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$ 令Ans=$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$ =$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$ =$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lf…

[Noi2010]能量采集 Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后, 栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列 有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n, 表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了 一个角上,坐标正好是(…

题面: bzoj luogu NOI2010能量采集 题解 读完题之后我们发现在每个产生贡献的点\((x1,y1)\)中,它与原点之间的点\((x2,y2)\)都满足\(x2|x1\),\(y2|y1\).现在我们要求它与原点之间点的个数,也就是这个点\((x,y)\)最大可以被除以多少--肯定是\(gcd(x1,y1)\)啊. 所以我们就知道怎么做啦:\(2\times \sum_{i=1}^n\times \sum_{j=1}^m\times gcd(i,j)-n\times m\) 中间的…

BZOJ2005 NOI2010 能量采集 Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标…

Portal Description 给出\(n,m(n,m\leq10^5),\)计算\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (2gcd(i,j)-1)\] Solution 简单起见我们来钦定\(n\leq m\),然后计算\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j)\). \[ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j) = \sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [g…

题面: 传送门 思路: 稍微转化一下,可以发现,每个植物到原点连线上植物的数量,等于gcd(x,y)-1,其中xy是植物的横纵坐标 那么我们实际上就是要求2*sigma(gcd(x,y))-n*m了 又有某不知名神奇定理:一个数的所有因子的phi之和等于这个数本身,其中phi是欧拉函数 因此题目转化为求如下: 我们把式子变个型,就成了如下式子: 然后一个前缀和优化,O(n+sqrt(n))解决 Code: #include<iostream> #include<cstdio> #i…