题解 可重元素的全排列都是很熟知的东西了 就是 \(\frac{n!}{\prod c_{i}!}\)其中\(c_{i}\)是第i种数出现的次数 我们对于每个元素统计一下多少排列里这个数会被统计进去 我们对于一个M,如果a里面大于M的数有k个,那么每个被统计进的元素和这些数都不相同,被统计进的元素需要出现在所有不合法的数之前,概率是\(\frac{1}{k + 1}\) 设a里小于等于M的元素和为S,排列个数为P 答案是\(S\cdot \frac{P}{k + 1}\) 代码 #include…

[51nod]1602 矩阵方程的解 这个行向量显然就是莫比乌斯函数啦,好蠢的隐藏方法= = 然后我们尝试二分,二分的话要求一个这个东西 \(H(n) = \sum_{i = 1}^{n} \mu(i) == d\) 当然\(\mu(x)\)由于一些很好的性质,这个东西可以用分类讨论做出来 众所周知,求\(\mu\)不为0的数的方法就是容斥求无平方因子数 \(G(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{N}} \mu(i) \lfloor \frac{N}{i^{2}} \rfloor…

[51nod]1634 刚体图 给一个左边n个点右边m个点二分图求合法的连通图个数,每条边选了之后会带来价值乘2的贡献 类似城市规划那道题的计数 设\(g[i][j]\)为左边\(i\)个点,右边\(j\)个点的图有多少个(就是边随便连) \(f[i][j]\)为左边\(i\)个点右边\(j\)个点的连通图有多少个 然后枚举和左边第一个点连通的联通块是几个左边点,几个右边点 答案可以认为是 \(f[i][j] = g[i][j] - \sum_{k = 0}^{i - 1}\sum_{h = 0…

[51nod]1407 与与与与 设\(f(x)\) 为\(A_{i} \& x == x\)的\(A_{i}\)的个数 设\(g(x)\)为\(x\)里1的个数 \(\sum_{i = 0}^{2^{20}} (-1)^{g(x)}2^{f(x)}\) \(f(x)\)就是按位取反之后的一个FMT卷积,把判断条件改成这一位不存在即可 也可以用FWT的与卷积直接卷起来 #include <bits/stdc++.h> #define fi first #define se second…

[51nod]1776 路径计数 我们先把前两种数给排好,排好之后会有\(a + b + 1\)个空隙可以填数,我们计算有\(k\)个空隙两端都是相同字母的方案数 可以用枚举把第二种数分成几段插进去来算,设这个方案数为\(f[k]\) 然后对于一种有\(k\)个空隙的方案数,枚举剩下的\(a + b + 1 - k\)个空隙填了\(h\)个 然后计算把\(C\)和\(D\)分成\(k + h\)段的方案数就好了,记为\(g[k + h]\) 那么如何计算\(g[i]\)呢 一段要么是偶数,\(C…

[51nod] 2622 围绕着我们的圆环 kcz出的一道比赛题 第一次写带修改的线性基 ps:我觉得我计数计的好麻烦 首先是这个可以认为第二个矩阵是\(q\)个\(s\)位数,如果这\(q\)个数的线性基可以消掉\(C\)中每一行,那么答案就应该是,设线性基个数是\(x\),则应该是\(2^{q - x}\)随便选,然后剩下的用线性基消掉即可,所以系数是\(2^{p(q - x)}\)(因为第一个矩阵有\(p\)行) 那么问题就来了,我们要统计以下两个东西 1.\(q\)个\(s\)位数组成\…

title: [线性代数]5-2:置换和余因子(Permutations and Cofactors) categories: Mathematic Linear Algebra keywords: Determinants 'Pivot Formula' 'Big Formula' 'Cofactors Formula' Cofactors Permutations toc: true date: 2017-11-03 09:50:36 Abstract: 行列式的几种求法,以及相关的衍生问题…

[51nod]2564 格子染色 这道题原来是网络流-- 感觉我网络流水平不行-- 这种只有两种选择的可以源点向该点连一条容量为b的边,该点向汇点连一条容量为w的边,如果割掉了b证明选w,如果割掉了w证明选b 那么\(p\)的限制怎么加呢,新建一个点\(i'\),然后\(i\)往\(i'\)流一条容量为\(p\)的边 \(i'\)再向所有不合法的\(j\)连一条容量为正无穷的边,这样如果\(i\)选了\(b\),\(j\)选了\(w\),会有水流从\(i\rightarrow i' \right…

[51nod]2027 期望问题 %%%zsy 看不懂题解的垃圾选手在zsy大佬的讲解下终于知道了这道题咋做-- 先把所有\(a\)从大到小排序 设\(f_{i}\)为前\(i\)个数组成的排列的值,然后显然第\(i + 1\)个插进来的时候,有\(i + 1\)个位置,而且它比谁都要大 以下默认\(f_{1}\)到\(f_{k - 1}\)都是0(因为他们一定是最后弹出的,可以直接算),我们只针对排在k及以后的数讨论贡献 当第\(i\)个数加进来的时候,它有\(i\)种插入位置,前\(k -…

[51nod]2591 最终讨伐 敲51nod是啥评测机啊,好几次都编译超时然后同一份代码莫名奇妙在众多0ms中忽然超时 这道题很简单就是\(M\)名既被诅咒也有石头的人,要么就把石头给没有石头被诅咒的人,然后互换身份,要么就找一些人构成一个置换圈,内部消化,\(N\)名有石头没诅咒的人不能把石头给M,只能给没石头有诅咒的人 我们分开来考虑,先强制这\(M\)个人的其中一些一定会把石头给\(N\)名没有石头被诅咒的人 设\(dp[i][j]\)为剩\(i\)对,有诅咒没石头,有石头没诅咒,\(j…

[51nod]2590 持续讨伐 挣扎着卡了卡常过了 记\(dp[i][j]\)为到第\(i\)位,和第\(i\)位相连的部分长度\(x^{j}\)乘上之前部分所有方案\(x^{K}\)总和 转移用二项式定理展开即可,若这位不选,可以有\(dp[i + 1][j] = dp[i][K]\) 矩阵乘法优化一下,卡常用预处理出2的几次幂的矩阵的答案 #include <bits/stdc++.h> #define fi first #define se second #define pii pai…

[题目]51Nod 1273 旅行计划 [题意]给定n个点的树和出发点k,要求每次选择一个目的地旅行后返回,使得路径上未访问过的点最多(相同取编号最小),旅行后路径上所有点视为访问过,求旅行方案.\(n,k \leq 5*10^4\). [算法]贪心 首先显然是访问所有叶子节点,先按叶子节点深度从大到小排序后依次访问,算出到达每个叶子节点路径上未访问过的点数,再按这个从大到小排序输出就是答案. 这里有个问题,就是前面的点访问后,后面的点答案会发生改变,可能会变得不优.但实际上我们考虑会干扰这个点…

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

[题目]1920 空间统计学 [题意]给定m维空间中的n个点坐标,满足每一维坐标大小都在[0,3]之间,现在对于[0,3*m]的每个数字x统计曼哈顿距离为x的有序点对数.\(n \leq 2*10^5,m \leq 9\). [算法]状压DP m范围很小,考虑设计状压DP的状态,可以想到设到达某个坐标j(将m维坐标压成m位四进制数)步数为k(距离等价于步数)的点数,但是难以转移.考虑按维转移,考虑每一维往外走的情况来转移. 设\(f_{i,j,k}\)表示前i维,到达坐标j,步数为k的点数.转移…

[题目]1519 拆方块 [题意]给定n个正整数,\(A_i\)表示第i堆叠了\(A_i\)个石子.每轮操作将至少有一面裸露的石子消除,问几轮所有石子均被消除.\(n \leq 10^5\). [算法]贪心+递推 观察每轮操作的变化: \[A_i=min \{ A_i-1,A_{i-1},A_{i+1} \} \] 继续推导,因为每一轮要么-1要么取左右,那么也就是一个数传递到另一个位置要加上它们之间距离的代价(一轮一格,每轮少一个 -1 ),也就是每个数字都可以更新为: \[A_x=\min_…

[题目]1055 最长等差数列 [题意]给定大小为n的互不不同正整数集合,求最长等差数列的长度.\(n \leq 10000\). [算法]动态规划 两个数之间的差是非常重要的信息,设\(f_{i,j}\)表示以i和j开头的最长等差数列长度,初始化为2,那么: \[f_{i,j}=f_{j,k}+1 \ \ , \ \ |A_i-A_j|=|A_j-A_k|\] 怎么快速找i,j,k?从后往前枚举j,然后双指针i和k向两边移动判断即可. 复杂度\(O(n^2)\). 注意:这题卡时间和空间,f数…

[题目]1510 最小化序列 [题意]给定长度为n的数组A和数字k,要求重排列数组从而最小化: \[ans=\sum_{i=1}^{n-k}|A_i-A_{i+k}|\] 输出最小的ans,\(n \leq 3*10^5,k \leq 5000,-10^9 \leq A_i \leq 10^9\). [算法]贪心+动态规划 先对序列从小到大排序,通过贪心容易发现连续的段在一起时最优.所以实际上要求将序列分成\(k\)段,其中\(n%k\)个大段和其它小段,小段的段长是\(g=\frac{n}{k…

[题意]给定n个点的树,m次求[a,b]和[c,d]中各选出一个点的最大距离.abcd是标号区间,n,m<=10^5 [算法]LCA+树的直径理论+线段树 [题解] 树的直径性质:距离树上任意点最远的点一定是直径的一端.此结论在点集中依然试用. 那么根据性质,容易得到答案路径的两端一定是[a,b]直径的一端和[c,d]直径的一端的连线. (考虑任意一个点集AB的点,在点集A中距离最远的是a或b,在点集B中距离最远的是c或d,故直径的端点只能是abcd) 从而,两个区间的直径可以快速合并成一个区间…

[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体推导过程参考:51nod1222 最小公倍数计数 过程运用到的技巧: 1.将所有i和j的已知因子提取出来压缩上届. 2.将带有μ(k)的k提到最前面,从而后面变成单纯的三元组形式. 最终形式: $$ans=\sum_{k=1}^{\sqrt n} \mu(k)  \sum_{d}    \sum_{i} \s…

[题意]给定n,求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解]就因为写了这个非常规写法,我折腾了3天…… $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$$ 令 $$g(n)=n*\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{(n,i)}$$ 那么 $$ans(n)=2*g(n)-\sum_{i=1}^{n}i$$ 枚举gcd,化简g(n). $$g(n)=n*\sum_{d|n}1/d\sum_{i=1}^{n}…

[题意]给定p,求p的原根g.3<=p<=10^9. [算法]数学 [题解]p-1= p1^a1 * p2^a2 * pk^ak,g是p的原根当且仅当对于所有的pi满足g^[ (p-1)/pi ] ≠ 1 (%p) g一般很小,暴力求. #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; ],tot; int power(int x,int k){ ; while(k){ )ans=1ll*ans*x%p; x=1…

[算法]贪心 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<queue> using namespace std; ; struct cyc{int num,value;}b[maxn]; int n,m,a[maxn]; ; priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q; bool cmp(c…

[算法]数学 [题解] 1.平均数:累加前缀和.//听说要向下取整? 2.中位数:双堆法,大于中位数存入小顶堆,小于中位数存入大顶堆,保证小顶堆内数字数量≥大顶堆,奇数则取小堆顶,偶数则取两堆顶/2. 3.方差=(平方的均值)-(均值的平方),即对于a,b,c,s2=(a2+b2+c2)/3-((a+b+c)/3)2. #include<stdio.h> #include<algorithm> #include<cstring> #include<set>…

[题解]通过画图易得结论:最大斜率一定出现在相邻两点之间. #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; ; ; struct cyc{int x,y,ord;}a[maxn]; int b[maxn],n; bool cmp(cyc a,cyc b) {return a.x<b.x;} int main() { scanf("%d",&a…

[算法]贪心 [题解]比较经典,用l,r两个定位指针分别从左右向中间推进. #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; ; int n,m,a[maxn]; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); ;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); sort(a…

[算法]数位DP [题解]数位dp总结 之 从入门到模板 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; ; int n,a[maxn],NUM[maxn]; long long f[maxn]; struct cyc{int num/*数字数*/;long long ans/*1的数量*/;}qp; cyc dfs(int deep,bool limit)//返回1…

[算法]数学 [题解] 其实就是求中位数,奇数个点就是最中间的点,偶数个点就是最中间两个点和它们之间的区域皆可(所以偶数不必取到两点正中央,取两点任意一点即可). 我们可以想象现在x轴上有n个点,我们设定的目标点在最左边,那么可以算出距离总和ans. 目标点往右移动1,相当于ans+左边点数-右边点数. 那么目标点到达正中央(或中央两点之间)前,ans单调递减(左边点<右边点),之后ans又单调递增(左边点>右边点) 由此,目标点为中位数点时,距离之和最小. #include<cstdi…

[题意]将n划分成不同正整数的和的方案数. [算法]动态规划 [题解] 暴力:f[i][j]:只用前1..i的数字,总和为j的方案数 本质上是01背包,前i个物体,总质量为j的方案数 f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i] 复杂度O(n^2) 优化: 我们发现,因为要求数字不同,那么数字最多也小于sqrt(n*2)个. 极端情况:1+2+3+...+mx=n mx<sqrt(n*2) 所以可以改一下状态的设计 f[i][j]:用了i个数字,总和为j的方案数. 转移状态: ①如…

[算法]动态规划+组合数学 [题意]有一个h行w列的棋盘,定义一些格子为不能走的黑点,现在要求从左上角走到右下角的方案数. [题解] 大概能考虑到离散化黑点后,中间的空格子直接用组合数计算. 然后解决容斥问题就很重要了. 定义f[i]为走到第i个黑点且不经过其它黑点的方案数. f[i]=calc(x[i]-1,y[i]-1)-Σ(f[j]*calc(x[i]-x[j],y[i]-y[j])),j<i&&x[j]<=x[i]&&y[j]<=y[i]. cal…

[算法]数学 [题意]a数组初始为0,t=1~n,每次01翻转t的倍数,最终为0的数字定义为好数,求好数个数 [题解]一个数字为好数的条件是翻转偶数次,也即一个数是好数当且仅当有偶数个因子时. 因子都是两两配对的,只有完全平方数才拥有奇数个因子. 对于n以内的数字,1~√n的平方就是所有完全平方数. ans=n-√n. #include<cstdio> #include<math.h> int main(){ long long n; scanf("%lld",…