This article is made by Jason-Cow.Welcome to reprint.But please post the article's address. 莫比乌斯定理(未完待续......): 形式1: 形式2: 引理: 证明1:       右边=带入左边等式,得                               又当且仅当 : ,即时,上式非        所以,成立.  bzoj2154 时间复杂度  换元:令 /* */ 此题的精髓就一个字,模 #…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301 题意:多次询问,求有多少对数满足 gcd(x,y)=k, a<=x<=b, c<=y<=d. 对于有下界的区间,容易想到用容斥原理做.然后如果直接用Mobius反演定理做,那么每次询问的复杂度是O(n/k),如果k=1的话,那么总体就是O(n^2)的复杂度了,会TLE.这样用到了分快优化,注意到 n/i ,在连续的k区间内存在,n/i=n/(i+k),因此能用分块优化…

这篇文章参考了许多资料和自己的理解. 先放理论基础. 最大公约数:小学学过,这里只提一些重要的公式: $·$若$a=b$,则$\gcd(a,b)=a=b$: $·$若$\gcd(a,b)=d$,则$\gcd(b,a-b)=d$,所以就有了欧几里得辗转相除法: $·$如果$a$为偶数,$b$为奇数,则$\gcd(a,b)=\gcd\left(\dfrac a2,b\right)$: $·$如果$a$.$b$均为偶数,则$\gcd(a,b)=2\times \gcd\left(\dfrac a2,\…

YY的GCD 给出T个询问,询问\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)\in prime)\),T = 10000,N, M <= 10000000. 解 显然质数是需要枚举的,设N<M,于是 \[ans=\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)==p)\] 于是设 \[f(p)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(gcd(i,j)==p)\] \[F(p)=\sum_{i=1}^N\su…

Crash的数字表格 求\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\) 解 设\(N<M\),显然有 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{ij}{gcd(i,j)}=\sum_{d=1}^N\frac{1}{d}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mij(gcd(i,j)==d)\] 设 \[f(k)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mij(gcd(i,j)==k)\] \[F(k)=\sum_{i=1}^{N}\su…

Longge's problem 求\(\sum_{i=1}^ngcd(i,n)\),\(n< 2^{31}\). 解 理解1: 注意式子的实际意义,显然答案只可能在n的约数中,而现在问题变成了每个约数出现了几次,而一个约数d要出现的次数,自然需要这个数有约数d,其他的约数与之互斥,于是考虑欧拉函数,故我们有 \[ans=\sum_{d|n}\varphi(n/d)d\] 以此枚举n的约数爆算即可,时间复杂度不难得知为\(O(\sigma(n)\sqrt{n})\). 理解2: 约数计数问题,考…

Sky Code 给出n个数,求选出4个数组合,使其gcd为1,,\(n<=10000\),每个数\(<=10000\). 解 理解1:容斥原理 注意到Mobius反演式子不好写出,于是我们考虑它的兄弟,容斥,于是设\(F(d)\)表示数中有约数d的个数,所以由容斥原理,我们不难得到 \[ans=\sum_{d=1}^{10000}F(d)\mu(d)\] 预处理出函数\(\mu\),和\(F\),代入式子枚举即可. 理解2:Mobius反演 考虑到无法写出具体的式子,于是我们可以列出抽象式子…

LJJ爱数数 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\epsilon(gcd(i,j,k))(\frac{1}{i}+\frac{1}{j}==\frac{1}{k}),n\leq 10^{12}\) 解 显然无法用Mobius反演,问题在于\(\frac{1}{i}+\frac{1}{j}==\frac{1}{k}\),要将其转换为gcd条件. 法一:先约数拆分,再证明对应相等 分数我们无法处理,所以有 \[(i+j)k=ij\] 设\(g=gcd(i,…

题意:$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} } $ 解题关键: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} }  = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\frac{{i*j}}{{\gcd (i,j)}}} } $ 枚举gcd,上式化为: $\sum\limits_{d = 1}^{\min (…

题目链接:http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/ 题意:求gcd(x,y,z)=1,1<=x,y,z<=n,的个数. 开始做的时候枚举gcd(x,y),然后求z与gcd(x,y)互素的个数个数,O(n*sqrt(n))赌赌RP,然后TLE了... 后来才知道要用到莫比乌斯反演定理: 已知 f(n) = sigma(d|n, g(d)) 那么 g(n) = sigma(d|n, mu(d)*f(n/d)) 还有另一种形式更常用: 在某一范围内,已知 f(n)…