分析 好像是有一个叫这个名字的算法,链接. 令\(f[i][j][k]\)表示一辆每公里耗油量为\(1\)的货车从\(i\)到\(j\)中途加\(k\)次油最小的油箱容量.枚举所有的起点和中途加油的次数,这样就固定了两维,显然有DP方程: \[ f[i][j][k]= \min_{p=i}^{j} ( \max (f[i][p][k-1],a[j]-a[p])) \] 根据生活经验题意显然这个DP具有决策单调性,可以用分治优化一下. 具体来说就是每次大力求出\(mid=(l+r)/2\)的决策点…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2739 分治处理决策单调性的思想就是先找到一个询问,枚举所有可能的转移找到它的决策点,那么这个询问之前的询问的决策点就是在该决策点之前(含)的,这个询问之后的询问的决策点就是在该决策点之后(含)的. 但是有那个“(含)”,所以复杂度可能被卡? #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define…

[HNOI2008]玩具装箱TOY 题目描述: P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京. 他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中. P教授有编号为\(1......N\)的\(N\)件玩具,第\(i\)件玩具经过压缩后变成一维长度为\(C_{i}\). 为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的. 同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物, 形式地说如果将第\(i\)件玩…

题意:给定线段上n个特殊点,m次询问. 每次询问:在第l个点到第r个点这一段区间中选出k个点,将其分成k + 1段.使得最长的段尽量短. 输出这m个询问中答案最大的. n<=400,m<=250000 解:显然有个暴力DP是n4的.f[l][r][k]表示把[l, r]分成k段的最短长度. 然后我们发现一件事: 考虑j增加的时候,这个东西左半边单增,右半边单减.于是这个东西对于j是个凸的. 还发现r增大的时候,j一定不会减少. 然后枚举l和k,r递增的同时让一个指针j跟着增加.这样就是n3DP…

题意: 给定一个序列,你要将其分为k段,总的代价为每段的权值之和,求最小代价. 定义一段序列的权值为$\sum_{i = 1}^{n}{\binom{cnt_{i}}{2}}$,其中$cnt_{i}$表示当前这段序列中数字大小为i的数的个数. 题解: 先考虑暴力DP, f[i][j]表示DP到i位,分为j段的最小代价. 则$f[i][j] = min(f[l - 1][j] + sum[l][i])$,其中sum[l][i]表示区间[l, i]分成一段的代价. 然后可以发现,这是具有决策单调性的…

第一次写这种二分来优化决策单调性的问题.... 调了好久,,,各种细节问题 显然有DP方程: $f[i]=min(f[j] + qpow(abs(sum[i] - sum[j] - L - 1)));$ 其中f[i]代表到了第i个句子的最小答案 qpow用于处理^p sum为前缀和 (同时为了处理句子之间的空格问题,我们在统计前缀和的时候就默认在句子后面加一个空格, 然后在计算的时候,由于每一行只有最后一个不用加空格,直接减掉这个多加的空格即可获得正确长度) 首先我们可以打表发现是满足决策单调性…

题目描述:给定一个序列,要把它分成k个子序列.每个子序列的费用是其中相同元素的对数.求所有子序列的费用之和的最小值. 输入格式:第一行输入n(序列长度)和k(需分子序列段数).下一行有n个数,序列的每一个元素. 输出格式:输出一个数,费用和的最小值. 2<=n<=10^5,2<=k<=min(n,20),序列的每一个元素值大于等于1,小于等于n. 决策单调性到底是个什么神仙…… 这题用分治做决策单调性…… 问题是我连题解都看不懂…… 米娜桑自己看题解吧,如果有会了的麻烦教我一下………

点此看题面 大致题意: 给你一个序列,对于每个\(i\)求最小的自然数\(p\)使得对于任意\(j\)满足\(a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}\). 证明单调性 考虑到\(\sqrt{|i-j|}\)的增长是逐渐变慢的,所以若当前位置\(i\)受\(x\)影响,那么对于任意\(y<x\),\(i\)之后的位置都不可能再受\(y\)影响. 也就可见其具有单调性. 决策单调性 这里的决策单调性我用的是闪指导指导我的分治做法. 我们对于当前区间\([l,r]\),再记录一个决策区间\…

LINK 题目大意 给你一个序列分成k段 每一段的代价是满足\((a_i=a_j)\)的无序数对\((i,j)\)的个数 求最小的代价 思路 首先有一个暴力dp的思路是\(dp_{i,k}=min(dp_{j,k}+calc(j+1,i))\) 然后看看怎么优化 证明一下这个DP的决策单调性: trz说可以冥想一下是对的就可以 所以我就不证了 (其实就是决策点向左移动一定不会更优) 然后就分治记录当前的处理区间和决策区间就可以啦 //Author: dream_maker #include<bi…

题目要求... 化简得... 显然m和sum^2是已知的,那么只要让sigma(si^2)最小,那就变成了求最小平方和的最小值,经典的决策单调性,用分治优化即可. 斜率优化忘得差不多就不写了 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace…

每个pi要求 这个只需要正反DP(?)一次就行了,可以发现这个是有决策单调性的,用分治优化 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; ,inf=1e9; int n; ]; void read(int &k) {…

题意 给定一个序列 \(\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\),要把它分成恰好 \(k\) 个连续子序列. 每个连续子序列的费用是其中相同元素的对数,求所有划分中的费用之和的最小值. \(2 \le n \le 10^5, 2 \le k \le \min(n, 20), 1 \le a_i \le n\) 题解 \(k\) 比较小,可以先考虑一个暴力 \(dp\) . 令 \(dp_{k, i}\) 为前 \(i\) 个数划分成 \(k\) 段所需要的最小花费. 那么转移如下…

小Q有n本书,每本书有一个独一无二的编号,现在它们正零乱地在地上排成了一排. 小Q希望把这一排书分成恰好k段,使得每段至少有一本书,然后把每段按照现在的顺序依次放到k层书架的每一层上去.将所有书都放到书架上后,小Q这才突然意识到它们是乱序的,他只好把每一层的书分别按照编号 从小到大排序.排序每次可以在1单位时间内交换同一层上两本相邻的书. 请写一个程序,帮助小Q计算如何划分这k段,且如何交换这些书,使得总交换次数最少. Input 第一行包含两个正整数n; k(1≤n≤40000;1≤k≤min…

Description 对于一个区间集合 {A1,A2--Ak}(K>1,Ai不等于Aj(i不等于J),定义其权值 S=|A1∪A2∪--AK|*|A1∩A2--∩Ak| 即它们的交区间的长度乘上它们并区间的长度. 显然,如果这些区间没有交集则权值为0. Your Task 给定你若干互不相等的区间,选出若干区间使其权值最大. Input 第一行n表示区间的个数 接下来n行每行两个整数l r描述一个区间[l,r] Output 在一行中输出最大权值 Sample Input 4 1 6 4 8…

P2877 [USACO07JAN]牛校Cow School 01分数规划是啥(转) 决策单调性分治,可以解决(不限于)一些你知道要用斜率优化却不会写的问题 怎么证明?可以暴力打表 我们用$ask(l,r,dl,dr)$表示处理区间$[l,r]$时,这段区间的决策点已固定在$[dl,dr]$中 设$mid=(l+r)/2$,暴力处理$mid$的最优决策点$dm$ 再向下分治$ask(l,mid-1,dl,dm)$,$ask(mid+1,r,dm,dr)$ 对于本题,先按$t[i]/p[i]$从大…

传送门 题意简述:给一个N个点的凸多边形,求离每一个点最远的点. 思路:先根据初中数学知识证明决策是满足单调性的,然后上分治优化即可. 才不是因为博主懒得写二分+栈优化呢 代码: #include<bits/stdc++.h> #define ri register int using namespace std; inline int read(){ int ans=0; bool f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')…

洛谷题目传送门 貌似做所有的DP题都要先搞出暴力式子,再往正解上靠... 设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数分\(j\)段的最小花费,\(w_{l,r}\)为\([l,r]\)全在一段的费用. \[f_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{i}\{f_{k,j-1}+w_{k,i}\}\] 显然\(j\)这一维可以滚掉,于是变成\(g_i=\min\limits_{k=1}^{i}\{f_k+w_{k,i}\}\)做\(m\)遍(题目中的\(k\)) 这又是一个决策单调性优化…

前缀和优化 当DP过程中需要反复从一个求和式转移的话,可以先把它预处理一下.运算一般都要满足可减性. 比较naive就不展开了. 题目 [Todo]洛谷P2513 [HAOI2009]逆序对数列 [Done]洛谷P2511 [HAOI2008]木棍分割 [Done]洛谷P4099 [HEOI2013]SAO [Done]NOIAC37 染色 单调队列优化 前置技能:单调队列(经典的问题模型:洛谷P1886 滑动窗口) 用于优化形如\(f_i=\min/\max_{j=l_i}^{i-1}\{g_…

update in 2019.1.21 优化了一下文中年代久远的代码 的格式…… 什么是决策单调性? 在满足决策单调性的情况下,通常决策点会形如1111112222224444445555588888..... 即不可能会出现后面点的决策点小于前面点的决策点这种情况. 那么这个性质应该如何使用呢? 1,二分. 考虑到决策点单调递增,因此我们考虑用单调队列存下当前的决策选取情况. 单调队列中存的量会带3个信息:这是哪个决策点,这个决策点会给哪个区间的点产生贡献(这是一个区间,所以算2个信息) 相当…

决策单调性: 对于一些dp方程,经过一系列的猜想和证明,可以得出,所有取的最优解的转移点(即决策点)位置是单调递增的. 即:假设f[i]=min(f[j]+b[j]) (j<i) 并且,对于任意f[i]的决策点g[i],总有f[i+1]的决策点g[i+1]>=g[i](或者<=g[i]) 那么,这个方程就具备决策单调性. 这个有什么用吗? 不懂具体优化方法的话确实也没有什么用.可能还是n^2的.只不过范围可能少了一些. 一 经典入门例题: Description: [POI2011]Li…

Bzoj4951:决策单调性 分治 国际惯例题面:一句话题面:供应商出货日期为Ei,售价为Pi:用户收购截止日期为Si,收购价格为Gi.我们要求max((Si-Ej)*(Gi-Pj)).显然如果我们把这两者都按照Ei,Si递增排序,则Pi,Gi都是单调降的.为什么?如果一个供应商生产时间后且价格高,显然你不会选择他:如果一个用户购买时间短且收购价格低,显然你也不会选择他.然后我们会写n^2暴力了.考虑优化. 这种DP要么斜率+数据结构优化,要么就是决策单调性.考虑斜率优化,发现这是一个三维凸包问…

https://loj.ac/problem/6039 我们设dp[i][j]表示考虑所有价值小于等于i的物品,带了j块钱的最大吸引力. 对于ci相同的物品,我们一定是从大到小选k个物品,又发现最大的k个的价值在k变大的时候增长率是单调减的. 同时对于同样的ci,被转移和转移到的状态mod ci同余. 这些dp值也具有单调性,因此这个dp具有决策单调性. 我们用分治优化转移.负责度O(c*k*logk) #include<iostream> #include<cstring> #i…

一般的式子都是 $f_i = max\{g_j + w_{(i,j)}\}$ 然后这个 $w$ 满足决策单调性,也就是对于任意 $i < j$ ,$best_i \leq best_j$ 这样就会有两种优化方式 1.$w_{(i,j)}$ 可以快速求 例如:NOI 2009 诗人小 G 题里给了你 $L,P$ 和单调递增的 $s$ 数组,然后 $f_i = min \{ f_j + |s_i-s_j-L-1|^P \} \space (j < i)$ 可以发现以一个点为最优决策的点是一段区间…

决策单调性优化dp 专题练习 优化方法总结 一.斜率优化 对于形如 \(dp[i]=dp[j]+(i-j)*(i-j)\)类型的转移方程,维护一个上凸包或者下凸包,找到切点快速求解 技法: 1.单调队列 : 在保证插入和查询的x坐标均具有单调性时可以使用 2.单调栈+二分:保证插入有单调性,不保证查询有单调性 3.分治+ 1 或 2:在每次分治时将\([l,mid]\)这段区间排序后插入,然后更新右区间\([mid+1,r]\)的答案 二.分治.单调队列维护有单调性的转移 (甚至还有分治套分治)…

根据旋转卡壳,当逆时针遍历点时,相应的最远点也逆时针转动,满足决策单调性.于是倍长成链,分治优化DP即可,复杂度O(n^2). #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) typedef long long ll; using namespace std; ,inf=1e9; int n,T,ans[N]; struct P{ int x,y,id;…

用途 废话,当然是在DP式子满足某些性质的时候来优化复杂度-- 定义 对于\(j\)往大于\(j\)的\(i\)转移,可以表示成一个关于\(i\)的函数\(f_j(i)\),也就是\(dp_i=\max/\min\{f_j(i)\}\). 若是取\(\max\),并且在某一个地方\(f_j(i)\)从下面跑到了\(f_k(i)\)的上面(如果加入\(f_j(i)\)这个函数时本来就在\(f_k(i)\)的上面那么不算),就称之为\(j\)取代了\(k\).取\(\min\)同理. 如果满足决策单…

[NAIPC2016]Jewel Thief(决策单调性+分治) 题面 原题提交地址(题目编号H) 原题面下载地址 有\(n\)个物品,每个物品有一个体积\(w_i\)和价值\(v_i\),现在要求对\(V \in [1,m]\),求出体积为\(V\)的 背包能够装下的最大价值 \(1 ≤ n ≤ 1000000; 1 ≤ m ≤ 100000; 1 ≤ w_i ≤ 300; 1 ≤ v_i ≤ 10^9\) 分析 决策单调性发现 注意到物品的体积很小,考虑按体积分类,选取同种体积的物品时,一定…

题目描述 有这样一款新的坦克游戏.在游戏中,你将操纵一辆坦克,在一个N×M的区域中完成一项任务.在此的区域中,将会有许多可攻击的目标,而你每摧毁这样的一个目标,就将获得与目标价值相等的分数.只有获得了最高的分数,任务才算完成.同时,为了增加游戏的真实性和难度,该游戏还做了以下的限制: 1)坦克有射程r的限制.为方便计算,射程r规定为:若坦克位于(x, y)格,则它可攻击的目标(x1, y1)必须满足|x-x1|, |y-y1|∈[0, r]. 2)对坦克完成任务的时间有严格限制,规定为t秒.其中…

LINK:CF321E Ciel and Gondolas 很少遇到这么有意思的题目了.虽然很套路.. 容易想到dp \(f_{i,j}\)表示前i段分了j段的最小值 转移需要维护一个\(cost(i,j)\) 暴力显然不太行 不过暴力枚举决策的话 可以预处理前缀和线性推出. 显然想要优化决策的话第一步就需要O(1)求出\(cost(i,j)\) 经过画图 可以发现预处理出\(g[i][j]\)表示从\((1,1)\)到\((i,j)\)这个矩形中的点值和 和 \(sum_i\)表示\((1,1…

LINK:珠宝 去年在某个oj上写过这道题 当时懵懂无知wa的不省人事 终于发现这个东西原来是有决策单调性的. 可以发现是一个01背包 但是过不了 冷静分析 01背包的复杂度有下界 如果过不了说明必然存在某种特殊的条件. 果然 物品的代价<=300. 一个贪心对于代价相同的物品显然可以优先选取最大的 我们把代价相同的物品给压在一起. 可以发现 这类似于分组背包的dp f[i]表示i容量的最大值 f[i]=max(f[i-j*c]+w[c][j]); 不过这个w数组差分之后是逐渐递减的. 可以发现…