# 题解 一道数论欧拉函数和欧拉定理的入门好题. 虽然我提交的时候POJ炸掉了,但是在hdu里面A掉了,应该是一样的吧. 首先我们需要求的这个数一定可以表示成\(\frac{(10^x-1)}{9}\times 8\). 那么可以列出一个下面的方程 \[\frac{(10^x-1)}{9}\times 8=L\times k\] 设\(d=gcd(9L,8)=gcd(L,8)\) \[\frac89(10^x-1)=Lk\] \[\frac{8(10^x-1)}d=\frac{9Lk}{d}\]…

该题没思路,参考了网上各种题解.... 注意到凡是那种11111..... 22222..... 33333.....之类的序列都可用这个式子来表示:k*(10^x-1)/9进而简化:8 * (10^x-1)/9=L * k (k是一个整数)8*(10^x-1)=9L*kd=gcd(9L,8)=gcd(8,L)8*(10^x-1)/d=9L/d*k令p=8/d q=9L/d p*(10^x-1)=q*k因为p,q互质,所以q|(10^x-1),即10^x-1=0(mod q),也就是10^x=1…

题意 给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\) 以及一个数 \(p\) ,现在有 \(m\) 次操作,每次操作将 \([l, r]\) 区间内的 \(a_i\) 变成 \(c^{a_i}\) . 或者询问 \([l, r]\) 之间所有 \(a_i\) 的和对 \(p\) 取模的结果 . \(n, m \le 5 \times 10^4, p \le 2^{14}\) 题解 考虑欧拉降幂(扩展欧拉定理),不会的可以看 这篇博客 . 然后对于这些不断叠加的指数,有如下式子 \[…

我是知道φ(n)=n-1,n为质数  的,然后给的样例在纸上一算,嗯,好像是找往上最近的质数就行了,而且有些合数的欧拉函数值还会比比它小一点的质数的欧拉函数值要小,所以坚定了往上找最近的质数的决心——不过11往上最近的质数是13,不能包括本身. 这样胡来居然AC了,但是之后还是老老实实地去看别人怎么做. 把代码贴出来供后来人观赏: #include<cstdio> #include<cstring> #include<vector> using namespace st…

题意:问从(0,0)到(x,y)(0≤x, y≤N)的线段没有与其他整数点相交的点数. 解法:只有 gcd(x,y)=1 时才满足条件,问 N 以前所有的合法点的和,就发现和上一题-- [poj 2478]Farey Sequence(数论--欧拉函数 找规律求前缀和) 求 x/y,gcd(x,y)=1 且 x<y 很像.   而由于这里 x可等于或大于y,于是就求 欧拉函数的前缀和*2+边缘2个点+对角线1个点. 1 #include<cstdio> 2 #include<cst…

题目大意:给你一个序列,求出指定区间的(l<=i<=r) mod 1000777 的值 还复习了欧拉函数以及线性筛逆元 考虑欧拉函数的的性质,(l<=i<=r),等价于 (p[j]是区间内所有出现过的质数) 那么考虑找出区间内所有出现过的质数,这思路和HH的项链是不是很像?? 由于此题强制在线,所以把树状数组替换成了主席树而已 原来我以前写的主席树一直都是错的......还好推出了我原来错误代码的反例 在继承上一个树的信息时,注意不要破坏现在的树 #include <cstd…

Visible Lattice Points Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 5636   Accepted: 3317 Description A lattice point (x, y) in the first quadrant (x and y are integers greater than or equal to 0), other than the origin, is visible fr…

今天zky学长讲数论,上午水,舒爽的不行..后来下午直接while(true){懵逼:}死循全程懵逼....(可怕)Thinking Bear. 2190: [SDOI2008]仪仗队 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 2092 Solved: 1325 [Submit][Status][Discuss] Description 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 5454    Accepted Submission(s): 1957 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

题目链接 先看题目中给的函数f(n)和g(n) 对于f(n),若自然数对(x,y)满足 x+y=n,且gcd(x,y)=1,则这样的数对对数为f(n) 证明f(n)=phi(n) 设有命题 对任意自然数x满足x<n,gcd(x,n)=1等价于gcd(x,y)=1 成立,则该式显然成立,下面证明这个命题. 假设gcd(x,y)=1时,gcd(x,n)=k!=1,则n=n'k,x=x'k,gcd(x,y)=gcd(x,n-x)=gcd(x'k,(n'-x')k)=k,与假设gcd(x,y)=1不符,…

Relatives Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 11372   Accepted: 5544 Description Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if ther…

题目描述 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如右图). 现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数. 输入输出格式 输入格式: 共一个数N 输出格式: 共一个数,即C君应看到的学生人数. 输入输出样例 输入样例#1: 4 输出样例#1: 9 说明 [数据规模和约定] 对于 100% 的数据,1 ≤ N ≤ 40000 题解 首先,我们很容易发…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2190   裸欧拉函数,先不计算对角线(a,a)的一列,然后算出1到n-1的所有欧拉函数相加*2,再加上对角线能看到的1个即可. 欧拉函数:φ(x)表示xy互质且y<x的y的个数. 筛法求解, φ(x)是积性函数满足 1.当x与y互质时φ(x*y)=φ(x)*φ(y). 2.x为质数时,φ(x)=x-1; 3.x%y=0时,φ(x*y)=φ(x)*y.   代码 #include<iostream…

[bzoj2190]: [SDOI2008]仪仗队 在第i行当且仅当gcd(i,j)=1 可以被看到 欧拉函数求和 没了 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <algorithm> using namesp…

bzoj[2818]Gcd Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 题解一(自己yy) phi[i]表示与x互质的数的个数 即gcd(x,y)=1 1<=y<x ∴对于x,y 若a为素数 则gcd(xa,…

题意:给一个 n,m,统计 2 和 n!之间有多少个整数x,使得x的所有素因子都大于M. 析:首先我们能知道的是 所有素数因子都大于 m 造价于 和m!互质,然后能得到 gcd(k mod m!, m!) = 1,也就是只要能求出不超过 m!且和 m! 互质的个数就好,也就是欧拉函数呗,但是,,,m!也非常大,根本无法用筛选法进行,但是可以通过递推进行,根据欧拉公式,能知道n! 和 (n-1)! 如果n为中素数,那么它们的素因子肯定是一样的,如果n是素数,那么就会多一项,所以我们能够得到递推式.…

链接 题意:给定长度为 \(n\) 的序列 A,每次求区间 \([l,r]\) 的乘积的欧拉函数 题解 考虑离线怎么搞,将询问按右端点排序,然后按顺序扫这个序列 对于每个 \(A_i\) ,枚举它的质因数,由于不同的质因数只算一次,所以我们只关心每个质数它最后一次出现的位置,开一棵线段树维护一下每个位置的质数,加入新的质数时,先把之前的删掉,再加新的 现在强制在线,可以开可持久化线段树维护一下 #include<bits/stdc++.h> #define REP(i,a,b) for(int…

题意就是求10^9以内的正整数的欧拉函数(Φ(n)表示<=n的与n互质的正整数个数). 解法:用欧拉筛和欧拉函数的一些性质:    1.若p是质数,Φ(p)=p-1:    2.欧拉函数是积性函数,即若a,b互质,则Φ(ab)=Φ(a)*Φ(b):    3.若a,b不互质,则Φ(ab)=Φ(a)*b. 若 n≤10^6,可以通过欧拉筛用数组预处理得出:若不是,再分解质因数,利用Φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk) {除去各质因数的 n 以内的倍数}求出.…

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6390 直接开始证明: 我们设…………………………………….....…...............……………...(1) 则…................................….…(2) 为什么是这样呢,因为我们知道 同理得到b的分解和的分解 我们会发现,虽然a和b的分解里可以有相等的部分,但是在里的也就是我们假设为的部分是不会有重复的,那么要由*得出也就是要去除重复部分,的重复部分就是…

题意:定义 Fn 序列表示一串 <1 的分数,分数为最简分数,且分母 ≤n .问该序列的个数.(2≤N≤10^6) 解法:先暴力找规律(代码见屏蔽处),发现 Fn 序列的个数就是 Φ(1)~Φ(n) 的和.于是用欧拉筛预处理就好了. 注意--求前缀和要用 long long 的类型. 1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 usi…

[bzoj2186]: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 考虑当 gcd(a,b)=1 则 gcd(nb+a,b)=1 所以[1,N!]与M!互质的个数就是 筛出[1,M]所有的素数p[i] 以及逆元 p[i]-1 处理一下前缀积inv[x]= 然后答案就是N!*inv[x] /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #inc…

题意: 给出一个数,给出的形式是其分解质因数后,对应的质因数pi及其次数qi,问对这个数不停求phi,直至这个数变成1,需要多少次.(多组数据) 范围:pi <= 1e5,qi <= 1e9 分析: 当x > 2时,phi[x]均为偶数.而每次求phi之后,2的次数只会减一,然后其他的质因数分解出多个2,因此数x分解得到的2的个数就是答案了. 如果一开始不存在质因数2,那么需要多进行一次phi操作. 程序: #include <cstdio> #include <cst…

[bzoj2818]: Gcd 考虑素数p<=n gcd(xp,yp)=p 当 gcd(x,y)=1 xp,yp<=n满足条件 p对答案的贡献: 预处理前缀和就好了 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using…

题意:给定一个abs(x) <= a, abs(y) <= b,除了原点之外的整点各有一棵树,可以相互阻挡,求从原点可以看到多少棵树. 析:由于a < b,所以我们可以一列一列的统计,第 x 列可以看到的树的个数就是 0 < y <= b中gcd(x, y) = 1的y的个数. 然后就可以分别统计,时间复杂度为O(a*a). 代码如下: #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #inc…

题意:求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n). 思路:首先能够看出能够递推求出ans[n],由于ans[n-1]+f(n),当中f(n)表示小于n的数与n的gcd之和 问题转化为了求f(n),由于小于n的数与n的gcd一定是n的因数, 所以f(n)能够表示为sum(i)*i,当中sum(i)表示全部和n的gcd为i的数的数量,我们要求满足gcd(a, n) = i,的个数,能够转化为求gcd(a/i, n/i) = 1的个数, 于是能够发现sun(i) = phi(n/i),这…

题意:求奇质数 P 的原根个数.若 x 是 P 的原根,那么 x^k (k=1~p-1) 模 P 为1~p-1,且互不相同. (3≤ P<65536) 解法:有费马小定理:若 p 是质数,x^(p-1)=1 (mod p).这和求原根有一定联系. 再顺便提一下欧拉定理:若 a,n 互质,那么 a^Φ(n)=1(mod n).    还有一个推论:若x = y(mod φ(n) 且 a与n 互质,则有 a^x=a^y(mod n). 百度百科是这么说的:"原根,归根到底就是 x^(p-1)=…

Problem Description 新年快到了,"猪头帮协会"准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数,否则都是新朋友,现在会长想知道究竟有几个新朋友?请你编程序帮会长计算出来. Input 第一行是测试数据的组数CN(Case number,1<CN<10000),接着有CN行正整数N(1<n<32768),表示会员人数. Output 对于每一个N,输出…

「CSA49」Bunny on Number Line 题目大意:有一个人从0开始走,每次可以向前走一步或者回到1,那么会产生一个位置序列,其中给出 \(k\) 个位置是好的.定义一个位置序列是好的,当前仅当其有恰好 \(n\) 个位置是好的,且最后一个位置是好的,相邻两个好的位置距离不超过 \(m\) ,求本质不同的好的序列的长度之和.两个序列本质不同当且仅当存在一个位置满足在其中一个序列中上的位置是好的,另外一个不是. 解题思路:问题转换一下,将好的位置看作 1 ,其它的位置看作 0,组成一…

A. 神炎皇 很好的一道题,可能第一次在考场上遇到欧拉函数 题意:对于一个整数对 $(a,b)$,若满足 $a\times b\leq n$且$a+b$是$a\times b$的因子, 则称为神奇的数对.问这样的数对共有个? 首先式子同时除一个$gcd(a,b)$,那么设$d=gcd(a,b)$,则$a=A/d,b=B/d$, 所以因为$a$,$b$,中已经将因子全部提出,所以$a\times b$与$a+b$是互质的 然后设$k$为$d/(a+b)$,显然$k\times (a+b)\time…