一个经典问题 求 \[ \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) \] 一般的做法是使用\(\varphi(n)\)函数. 不经典的做法 \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^n\mathbb{lcm}(k,n) &=\sum_{k=1}^n\frac{nk}{\gcd(n,k)}\tag{gcd与lcm的关系}\\ &=\sum_{d|n}\sum_{k=1}^{n/d}\frac{ndk}{d}[\gcd(n,dk)=d]\tag{枚举gcd(n,…

题目大意: 表格中每一个位置(i,j)填的值是lcm(i,j) , 求n*m的表格值有多大 论文贾志鹏线性筛中过程讲的很好 最后的逆元我利用的是欧拉定理求解的 我这个最后线性扫了一遍,勉强过了,效率不是很高... /*bzoj 2154*/ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define N 10000000 ; ] , prime[N+] , f[N+] , tot; ]; void ini…

莫比乌斯反演也是反演定理的一种 既然我们已经学了二项式反演定理 那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样,不求甚解,只求会用 莫比乌斯反演长下面这个样子(=・ω・=) d|n,表示n能够整除d,也就是d是n的所有因子 μ(x)是莫比乌斯函数,它是这样计算的 μ(1) = 1 x = p1 * p2 * p3 ……*pk(x由k个不同的质数组成)则μ(x) = (-1)^k 其他情况,μ (x) = 0 比如 30 = 2 * 3 * 5 μ(30) = (-1)^3 4 = 2 * 2 μ(4)…

手动博客搬家:本文发表于20180310 11:46:11, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/79506484 题目链接: (Luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P3172 (BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930 题目大意: 给定N,M,L,R,从区间[L,R]内选出N个整数使得它们的gcd恰好为m…

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4119 依然是三维空间内求(1,1,1)~(a,b,c)能看到的整点数,平移一下转化成(0,0,0)~(a-1,b-1,c-1)就和前一题就一样了 还是莫比乌斯反演求gcd(a,b,c)=1的组数,公式还是sigma{u(d) * ((a/d+1) * (b/d+1) * (c/d+1) - 1)} 但直接暴力会T...所以加了分块优化...因为当a/d,b/d,c/d的值保持…

题面 100 \[ Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mg(gcd(i,j)) \] 其中, \[ g(d)=\sum_{i|d}i \] 我们注意到\(gcd(i,j)\)最多有\(O(n)\)种取值,所以我们枚举\(d=gcd(i,j)\): 就有, \[ Ans=\sum_{d=1}^ng(d)*f(d) \] 其中,\(f(d)\)表示,有多少对\((i,j)\)的最大公约数为\(d\),可以使用莫比乌斯反演求出. 那么, \[ Ans=\sum_{d=1}^ng(d…

/* 树上莫比乌斯反演 求树上 满足 d|gcd(au,av) gcd(au,av)的对数f(d) 如何求: 建立200000层新图,即对于每个数建立一个新图 在加边时,给gcd(au,av)的约数层的图的uv加边 f[i]表示第i层的满足条件 i | gcd(a[u],a[v]) 的对数,那么求一遍并查集,在合并过程中更新f[i]即可, 同时要注意f[i]初始值为这层的有效结点数量,对应i|gcd(a[u],a[u])这样的情况 然后用莫比乌斯反演来求最后答案g[d]=sigma(u[i]*f…

名字虽然很长.但是其实很简单,对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来(这时候需要一个会推公式的队友) 来源于某次cf的一道题,盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题,她看了看跟我说了题解,用反演写的,然后……还是错了23333.赛后题解给出的是用容斥原理解决问题,但是我并看不懂学姐的公式,也还不懂莫比乌斯反演的第二种形式.直到最近刚看,才恍然大悟. 这类问题的特点是,给一个集合,问所有子集的w(gcd(某个子集))的和问题(w表示某个函数,一般是跟子集长度有关). 可以做出两个函数.…

题目描述 求$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m|\mu(gcd(i,j))|lcm(i,j)$,即$gcd(i,j)$不存在平方因子的$lcm(i,j)$之和. 输入 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M 输出 T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 样例输入 4 2 4 3 3 6 5 8 3 样例输出 24 28 233 178 题解 莫比乌斯反演+线性筛 (为了方便,以下公式默认$n\le m$) $\ \ \ \…

求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\mu(gcd(i,j))^2$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\frac{1}{d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==d]$   $\Right…

马上开学了,加一个操作系统和数据库标签 不玩了,求1-n和1-m的lcm(i,j)和 首先想到把lcm(i,j)转化为i * j / gcd(i, j) 然后gcd,要素察觉,开始枚举d使得gcd(i,j) == d 之后莫比乌斯反演常规套路是miu(d),然后分母剩下d,分子剩下gcd(i,j) == 1,提出d我们得到d2 这时候柿子是µ(d) * d2 * ∑∑ij 其中i和j为除d,可以用等差数列求和公式O(1)求解 之后我们就好办了,枚举d 然后d2通过前缀和在线性筛里面处理,这一步可…

分析:http://www.cnblogs.com/huhuuu/archive/2011/11/25/2263803.html 注:从这个题收获了两点 1,第一象限(x,y)到(0,0)的线段上整点的个数是gcd(x,y) 2,新学了一发求gcd(x,y)=k有多少对的姿势,已知0<x<=n,0<y<=m 令x=min(n,m),令f[i]代表gcd(x,y)=i的对数, 那么通过O(xlogx)的复杂度就可以得到f[1]到f[n](反着循环) 普通的容斥(即莫比乌斯反演)其实也…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

题目大意: 给定\(a, b, c\),求\(\sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1][(j, k) = 1][(i, k) = 1]\) $a, b, c \leq 5*10^4 $ 首先莫比乌斯反演 $Ans = \sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1…

转载自An_Account大佬 提示:别用莫比乌斯反演公式,会炸的 只需要记住: [gcd(i,j)=1]=∑d∣gcd(i,j)μ(d)[gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)[gcd(i,j)=1]=d∣gcd(i,j)∑?μ(d) 证明?其实很简单. μ\muμ函数有个性质 ∑d∣nμ(d)=[d=1]\sum_{d|n}\mu(d)=[d=1]d∣n∑?μ(d)=[d=1] 将ddd替换成gcd(i,j)gcd(i,j)gcd(i,j)就是上面的那个暂且可…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4032  Solved: 1817[Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Outp…

题意:求sigma{lcm(i,j)},1<=i<=n,1<=j<=m 不妨令n<=m 首先把lcm(i,j)转成i*j/gcd(i,j) 正解不会...总之最后化出来的莫比乌斯反演式子并没有除法- 本脑子有坑选手的做法:20101009是一个质数,而且n和m的范围小于20101009,这一定有其原因.经过仔细思考,我们发现这保证了每个1~n的数都有mod20101009意义下的乘法逆元.用inv[x]表示x的逆元,我们发现原先的式子等于sigma{inv[gcd(i,j)]…

这道题看巨巨的题解看了好久,好久.. 本文转自hdu4746(莫比乌斯反演) 题意:给出n, m, p,求有多少对a, b满足gcd(a, b)的素因子个数<=p,(其中1<=a<=n, 1<=b<=m) 分析:设A(d):gcd(a, b)=d的有多少种      设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种,易知B(j) = (n/j)*(m/j)      则由容斥原理得:(注:不同行的μ是不相同的,μ为莫比乌斯函数)      A(1) = μ(1)*B(1)…

题目链接:http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/ 题意:求gcd(a, b, c) = 1    a,b,c <=N 的对数. 思路:我们令函数g(x)为gcd(a, b, c) = x的对数,那么这题就是要求g(1).我们令f(x)为x | gcd(a, b, c)的对数,显然f(n) = sigma(n | d, g(d)) .f(d) = (n/d) * (n/d) * (n/d),那么我们就可以用莫比乌斯反演公式了, g(n) = sigma(n |…

传送门:GCD 题意:求[1,n],[1,m]gcd为k的对数. 分析:莫比乌斯入反演门题,gcd(x,y)==k等价于gcd(x/k,y/k)==1,求出[1,n][1,m]互质的对数,在减去[1,2][2,1]之类重复的个数即答案. 莫比乌斯反演资料: 贾志鹏线性筛 莫比乌斯反演入门 莫比乌斯反演介绍 莫比乌斯反演:46ms #pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000") #include <cstdio>…

莫比乌斯反演 ​ 对于两个定义域为非负整数的函数\(F(n)\)和\(f(n)\) ​ 若满足:\(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\),则反演得到\(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)\): \[ \sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac n d)= \sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{d'\mid (n/d)}f(d')= \sum_{d'\mid n}f(d')\sum_{d|(n/d')}\m…

[BZOJ2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 简化题意: 给定\(n,m\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\] 题解 以下的一切都默认\(n<m\) 我们都知道\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) 所以所求化简 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] 看到\(gcd(i,j)\)很不爽,于是就再提出来 \[\sum_{d=1}^{n}\sum_…

Description 求sigma lcm(x,y),x<=n,y<=m.n,m<=1e7. Solution lcm没有什么直接做的好方法,用lcm=x*y/gcd转成gcd来做 就是要求sigma d*f(x/d,y/d) f(x,y)为x和y以内gcd正好为1的对数 F为所有对数,于是有F(x,y)=x*(x+1)/2*y*(y+1)/2 f(x,y)=sigma (1<=i<=x) i*i*mu(i)*F(x/i,y/i) f用莫比乌斯反演解决,这两个式子都套上分块…

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000…

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/549/J来源:牛客网 题目描述 小A最近开始研究数论题了,这一次他随手写出来一个式子,∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)2∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)2,但是他发现他并不太会计算这个式子,你可以告诉他这个结果吗,答案可能会比较大,请模上1000000007.输入描述:一行两个正整数n,m一行两个正整数n,m输出描述:一行一个整数表示输出结果一行一个整数表示输出结果   输入:2 2输出:7 1=<n,m<…

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

狄利克雷卷积&莫比乌斯反演总结 Prepare 1.\([P]\)表示当\(P\)为真时\([P]\)为\(1\),否则为\(0\). 2.\(a|b\)指\(b\)被\(a\)整除. 3.一些奇怪常见的函数: \(1(n)=1\) \(id(n)=n\) \(\sigma(n)=n的约数和\) \(d(n)=n的约数个数\) \(\epsilon(n)=[n==1]\) 狄利克雷卷积 数论函数 数论函数指一类定义域是正整数,值域是一个数集的函数. 加法:逐项相加就可以辣\((f+g)(x)=f…

题目描述 设\(f(i)\)为\(i\)的不同的质因子个数,求\(\sum_{i=1}^n2^{f(i)}\) \(n\leq{10}^{12}\) 题解 考虑\(2^{f(i)}\)的意义:有\(f(i)\)总因子,每种可以分给两个人中的一个.那么就有\(2^{f(i)}=\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1]\) 然后就是简单莫比乌斯反演了. \[ \begin{align} s&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d}…

题目大意 给你\(a_1\ldots a_n,l,c\)每次给你\(x,y\),求有多少个序列满足:长度\(\leq l\),每个元素是\([1,c]\),循环右移\(a_j(x\leq j\leq y)\)次后和原序列相同. \(n,q\leq 100000,l,c\leq{10}^9,lcm(a_1,\ldots a_n)\leq{10}^13\) 题解 显然只有右移\(\gcd(a_x,a_{x+1},\ldots,a_y)\)次后和原序列相同才满足条件. 先求出\(s=\gcd(a_x,…