https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390 求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) $ 不会,看题解: 类似求gcd为p的求法: $ f(n) = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) =\sum\limits_{i=1}^{N} d \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}…

公约数的和 传送门 分析 这道题很显然答案为 \[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n (i,j)\] //其中\((i,j)\)意味\(gcd(i,j)\) 这样做起来很烦,看起来是\(O(N^2)\)的辣鸡复杂度,我们考虑这个问题的弱化版 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\] 然后通过一些优美的容斥就可以算出原答案 现在我们设\[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=d]\] 这个式子表示,在\(i=1…

正解:莫比乌斯反演/欧拉函数 解题报告: 传送门$QwQ$ 一步非常显然的变形,原式=$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$ 后面那个就莫比乌斯反演入门题辣$QwQ$? 就变成$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}]\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\lfloor \frac {n/p}{d}\rfloor^2$ 十分套路的,后面显然可以数论分块,就变成了$\sum_{p=1…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算​$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]​$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题 其实这样就可以了,但是还可以优化一下子 设​​T=dp ​ 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了 解法二:欧拉函数 考虑上面的第一个式子​可以化简成 ​ tot是n以内质数的数量 这是因为考虑到每次都两次计算了​$\varphi(1)$…

link 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 (1)莫比乌斯反演法 发现就是YY的GCD,左转YY的GCD粘过来就行 代码太丑,没开O2 TLE5个点 #include <cstdio> #include <functional> using namespace std; const int fuck = 10000000; int prime[10000010], tot; bool v…

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)\] \(Solution\) \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\gcd(i,n) &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[\gcd(i,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=1] \end{aligne…

Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0). 能量汇集机器在汇集的过…

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

题意: 给定\(n,m,p\),求 \[\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m\frac{\varphi(ab)}{\varphi(a)\varphi(b)}\mod p \] 思路: 由欧拉函数性质可得:\(x,y\)互质则\(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\):\(p\)是质数则\(\varphi(p^a)=(p-1)^{a-1}\).因此,由上述两条性质,我们可以吧\(a,b\)质因数分解得到 \[\begin{aligned} \sum_{a=…

题意:求1-b和1-d之内各选一个数组成数对.问最大公约数为k的数对有多少个,数对是有序的.(b,d,k<=100000) 解法1: 这个能够简化成1-b/k 和1-d/k 的互质有序数对的个数. 如果b=b/k.d=d/k,b<=d.欧拉函数能够算出1-b与1-b之内的互质对数.然后在b+1到d的数i,求每一个i在1-b之间有多少互质的数. 解法是容斥,getans函数參数的意义:1-tool中含有rem位置之后的i的质因子的数的个数. 在 ];j++) ans); 这个循环中.ans加的等…