[问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 成立, 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(B)\varphi(A)\) 成立. 证明: 或者 \(\varphi(AB)=\var…

[问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) 表示 \(A\) 的共轭. 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0…

[问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A\alpha_2=\alpha_3,\,\,A\alpha_3=\alpha_4,\,\,A\alpha_4=-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3-\alpha_4.\] 证明:…

问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_…

[问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\] 特别地, 非异阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的特征值全为 \(1\). 注  本题是复旦高代教材 P293 复习题 12 的…

问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*} 其中 \(a_nb_m\neq 0\), \(n\geq 1\), \(m\geq 1\). 设 \(t\) 为实变元, \[g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)…

[问题2014A04]  设 \(A,B,C,D\) 均为 \(n\) 阶方阵. (1) 若 \(A^2=A\), \(B^2=B\), \((A+B)^2=A+B\), 证明: \(AB=BA=0\). (2) 若存在正整数 \(k\), 使得 \((AB)^k=0\), 证明: \(I_n-BA\) 是可逆阵. (3) 若 \(A,D\) 和 \(D-CA^{-1}B\) 均为可逆阵, 证明: \(A-BD^{-1}C\) 也是可逆阵, 并求其逆阵.…

[问题2015S05]  设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2}\…

[问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots).\] 设 \(f(x)\) 是 \(\varphi\) 的特征多项式, 并且 \(f(x)\) 在数域 \(K\) 上至少有两…

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1道思考题(共16道),供大家思考和解答.每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客(以博文的形式)”和“高等代数在线课程17级课群(以课群话题的形式)”这两个渠道同时发布,并通过17级高等代数微信群及时通知大家.有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上,并拍成图片上传到该每周一题对应的课群话题中.谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价,并将优…