\[\begin{eqnarray*}ans&=&\sum_{i=1}^nf(i)\\&=&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\gcd(d,\frac{i}{d})\\&=&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{k|d,k|\frac{i}{d}}\varphi(k)\\&=&\sum_{k=1}^n\varphi(k)\sum_{k^2|i}\sigma_0(\frac{i}{k^2})\\&=&…

[题目]GCD of Divisors [题意]给定f(n)=Σd|n gcd(d,n/d)的前缀和F(n),n=10^15. [算法]莫比乌斯反演 [题解]参考:任之洲数论函数.pdf 这个范围显然杜教筛也是做不了的,而且考虑直接化简f(n)也遇到了困难,所以考虑将前缀和的Σ一起化简. $$F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}(d,\frac{i}{d})$$ 这一步很常见的是第一重改为枚举倍数,但这样化简后面就推不下去了. 这道题必须最后转成$\sigma_0(n)$才…

积性函数: 积性函数定义ok 积性函数指对于所有互质的整数\(a\)和\(b\)有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数 除数函数? 莫比乌斯函数\(\mu\)ok \[ \phi(i) = \begin{cases} 1, & i==1 \\ (-1)^k, & i == \prod_{i=1}^{k}{p_i^1 {p}, p_i为所有质因子 \\ 0, & otherwise \end{cases} \] 为什么是积性函数? 对任意\(a,b,gcd(a,b)=1…

ProjectEuler_做题记录 简单记录一下. problem 441 The inverse summation of coprime couples 神仙题.考虑答案为: \[\begin{array}{c} S(n) & = & \sum_{i = 1} ^ n \sum_{p = 1} ^ i \sum_{q = p + 1} ^ i \frac {1}{pq}[p + q \geq i][gcd(p, q) = 1] \\ & = & \sum_{i = 1}…

Common Divisors time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output You are given an array aa consisting of nn integers. Your task is to say the number of such positive integers xx such that x…

题目链接:1033D - Divisors 题目大意:给定\(n\)个数\(a_i\),每个数的约数个数为3到5个,求\(\prod_{i=1}^{n}a_i\)的约数个数.其中\(1 \leq n \leq 500 , 1 \leq a_i \leq 2\cdot 10^{18}\). 题解:考虑约数个数公式,可以发现对于任意的\(a_i\),有\(a_i=\left\{\begin{matrix}p^2\\ p^3\\ p^4\\ p_1\cdot p_2\end{matrix}\right…

题目:Mike and gcd problem 题意:给一个序列a1到an ,如果gcd(a1,a2,...an)≠1,给一种操作,可以使ai和ai+1分别变为(ai+ai+1)和(ai-ai+1);问需要执行几次这个操作才能使得gcd(a1,a2,...an)>1. 分析: 1.首先,答案总是YES. 2,假设gcd(a1,a2,...an)=1,在一次对ai和ai+1的操作后新的gcd为d,则d满足:d|ai - ai + 1 and d|ai + ai + 1  d|2ai and d|2…

Recently you have received two positive integer numbers xx and yy. You forgot them, but you remembered a shuffled list containing all divisors of xx (including 11 and xx) and all divisors of yy (including 11 and yy). If dd is a divisor of both number…

D. Divisors http://codeforces.com/contest/1033/problem/D 题意: 给n个(n<=500)个数,($a_i <= 2 \times 10 ^ {18}$),每个数的因数个数在[3,5]内.$a = \prod\limits_{i=1}^na_i$,求a的因数个数. 分析: 首先有一个结论:一个数x的质因数分解后为:$x = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$ 那么它的因数个数就是 $(a_1 + 1) \time…

codeforces 703E Mishka and Divisors 题面 给出大小为\(1000\)的数组和一个数\(k\),求长度最短的一个子序列使得子序列的元素之积是\(k\)的倍数,如果有多个解输出元素和最小的序列. \(k\)和数组元素的数量级都是\(1e12\). 题解 \(f[i][d]\)表示前\(i\)项是\(d\)的倍数的最优解.因为\(d\)只可能是\(k\)的因数,所以离散化一下\(k\)的因数即可. 过程中需要多次求\(gcd\),直接求会超时.需要先预处理\(b[i…