题目传送门:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4916 第一个询问即求出$\sum_{i=1}^{n} { \mu (i^2)} $,考虑到$\mu$的定义,当i>1时必存在次数为偶数的质因子,故在数据范围内,$\sum_{i=1}^{n} { \mu (i^2)} $恒等于1. 第二个询问即求出$\sum_{i=1}^{n} { \varphi  (i^2)} $,考虑到$\varphi$的定义,则有$\varphi(i^2)=i\…

题意 求 $$\sum_{i = 1}^n \mu(i^2)$$ $$\sum_{i = 1}^n \phi(i^2)$$ $n \leqslant 10^9$ Sol zz的我看第一问看了10min. 感觉自己智商被侮辱了qwq 基础太垃圾qwq. 算了正经点吧,第一问答案肯定是$1$,还不明白的重学反演吧. 第二问其实也不难 定理: $\phi(i^2) = i\phi(i)$ $\sum_{d | n} \phi(d) = n$ 显然$i$ 考虑杜教筛的套路式子 $$g(1)s(n) =…

题目大意: 给定\(n\le 10^9\),求: 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) 解释 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 直接输出1 因为对于\(\forall i>1\)有\(\mu (i^2)=0\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) for 杜教筛: 构造函数\(f(i)=\varphi(i^2)\),则有\(f*\mathrm{id}=id^2\),具体推导…

居然扒到了学长出的题 和3944差不多(?),虽然一眼看上去很可怕但是仔细观察发现,对于mu来讲,答案永远是1(对于带平方的,mu值为0,1除外),然后根据欧拉筛的原理,\( \sum_{i=1}^{n}\phi(i^2)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)*i \),然后就可以正常推了: 设 \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d=1}^{i}[d|i]\phi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] \[ s…

Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; Output 请你输出一个整数 $A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}$ ; 请你输出一个整数 $B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}$ ; Sample Input 1 Sample Output 1 1 题解 首先注意到 $A$ 直接输出 $1$ 得满分.因为只有 $\mu(1^2)=1…

Description 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; Input 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; Output 请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}; 请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}; Sample Input 1 Sample Output 1 1 Solution 完全不知道第一问是用来干嘛的....反正都是1 第二问,显然,\(\varphi(…

题目大意: 读入n. 第一行输出“1”(不带引号). 第二行输出$\sum_{i=1}^n i\phi(i)$. 题解: 所以说那个$\sum\mu$是在开玩笑么=.= 设$f(n)=n\phi(n),F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$. 设$g=(f*id)$,则$g(n)=\sum_{d|n}id(\frac{n}{d})f(d)=n^2$. 设$G(n)=\sum_{i=1}^n g(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 同时将$G$完全展开我们得到: $G…

BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模100000…

题面 设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN,求 ∑i=1N∑j=1Nd(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{N}_{j=1} d(ij)i=1∑N​j=1∑N​d(ij) N<=109N<=10^9N<=109 题目分析 有这样一个结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​[(x,y)==1]这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明…

题目大意 定义复数\(a+bi\)为整数\(k\)的约数,当且仅当\(a\)和\(b\)为整数且存在整数\(c\)和\(d\)满足\((a+bi)(c+di)=k\). 定义复数\(a+bi\)的实部为\(a\),虚部为\(b\). 定义\(f(n)\)为整数\(n\)的所有实部大于\(0\)的约数的实部之和. 给定正整数\(n\),求出\(\sum_{i=1}^nf(i)\)对\(1004535809\)取模后得到的值. \(n\leq {10}^{10}\) 题解 以前看到一个数论题就是反演…