Luogu P1625 求和

题意给定两个整数 $n,m$,求 \[\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\prod\limits_{j=i}^{i+m-1}j} \] $\texttt{Data Range:}1\leq n+m\leq 500$ 题解小学奥数,裂项相消. 比如说有如下例子: \[\frac{1}{1\times2\times3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times 3}\right) \] 考虑以这个作…

Luogu 2671 求和 NOIP2015T3

题目链接题解 20pts $O(n^3)$枚举$x,y,z$,根据题目要求判断 40pts $O(n^2)$枚举$x,z$,需要满足$x,z$奇偶相同 20~40pts的代码我都没有写过...就不贴了 70~90pts 尝试对40pts的暴力进行优化题目对三元组的两个限制我们在40pts的时候已经用来优化过了,还有一个限制是颜色相同我们可以以颜色为关键字对数组进行排序,对每个数算答案的时候,只需要枚举相同颜色的这一段即可(因为三元组要求有序,所以要从$x+2$开始枚举) 这样的复杂度是$O…

luogu 4427 求和

bjoi 2018 求和唯一一道可能切的题一个数组还没开long long就成0分了题目大意: 一棵有根树,并且希望多次询问这棵树上一段路径上所有节点深度的k次方和,而且每次的k可能是不同的此处节点深度的定义是这个节点到根的路径上的边数思路: 考试的时候随便写了个树剖剖下来之后搞五十个次方的前缀和然后一个数组乘起来没开long long #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include&…

luogu P1630 求和（枚举暴力）

题意题解可以发现当a=10001时, 和1是等价的. 所以这题就水了. #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; ; long long ksm(long long x,long long b){ ; while(b){ ){ tmp=(tmp*x)%mod; }…

[Luogu] 余数求和

question: $$\sum_{i=1}^{n} k \bmod i$$$$\sum_{i=1}^{n} k - \lfloor \frac{k}{i} \rfloor i$$$$\sum_{i=1}^{n}k - \sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{k}{i} \rfloor i$$ 直接数论分块 #include <iostream> int main() { int n, k; ; std:: cin >> n >> k; , r; i &…

[Luogu 2261] CQOI2007 余数求和

[Luogu 2261] CQOI2007 余数求和这一定是我迄今为止见过最短小精悍的省选题了,核心代码 $4$ 行,总代码 $12$ 行,堪比小凯的疑惑啊. 这题一看暴力很好打,然而 $10^{9}$ 的范围注定会卡掉暴力. 所以我们要用除法分块来优化. 由题意得:$ans = \sum_{i=1}^{n} k \bmod i$ 我们知道,$a \bmod b = a - b \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor$ 因此,\(ans = \…

BZOJ 4555 Luogu P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和 (第二类斯特林数)

题目链接 (luogu) https://www.luogu.org/problem/P4091 (bzoj) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 题解终于不是神仙题了啊... 首先$O(n\log n)$的FFT做法非常明显,直接用容斥展开,这里不再赘述了.发现最后就是要求一个\(\sum^{n}_{k=0}\sum^{n}_{j=k}(-1)^{j-k}{j\choose k}2^j(\sum^{n}_{i=0}k…

[Luogu P2261] [CQOI2007]余数求和 (取模计算)

题面传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2261 Solution 这题显然有一个O(n)的直接计算法,60分到手. 接下来我们就可以拿出草稿纸推一推式子了首先,取模运算在这里很不和谐,我们得转换一下. 对于任意取模计算,我们都有: 所以,我们可以做以下推算经过一些手算,我们发现k/i(向下取整)是由一段一段的区间组成的,如下图显然,每段区间的右端点可以通过二分的方法来找对于每一段区间,我们可以把k/i提出来,括号里面就变成了(i+(i…

【Bzoj4555】【Luogu P4091】求和（NTT）

题面 Bzoj Luogu 题解先来颓柿子 $$ \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj! \\ =\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=0}^nS(i,j) \\ \because S(n, m)=\frac1{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!} \\ \therefore=\sum_{j=0}^n2^…

Luogu 4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

BZOJ 4555 一道模板题. 第二类斯特林数有公式: $$S(n, m) = \frac{1}{m!}\sum_{i = 0}^{m}(-1)^i\binom{m}{i}(m - i)^n$$ 考虑它的组合意义:$S(n, m)$表示$n$个不相同的小球放到$m$个相同的盒子里而且不能有空盒的方案数. 我们枚举空盒有$i$个,然后进行容斥.因为盒子没有区别,所以最后得到的值还要除以$m!$. 本题要求: $$\sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{i}S(i, j)*2^…

【题解】Luogu P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

原题传送门 \[\begin{aligned} a n s &=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i}\left\{\begin{array}{c}{i} \\ {j}\end{array}\right\} 2^{j} \times j ! \\ &=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n}\left\{\begin{array}{c}{i} \\ {j}\end{array}\right\} 2^{j} \times j ! \\ &=\su…

LUOGU P2261 [CQOI2007]余数求和(数论分块)

传送门解题思路数论分块,首先将 $k\%a$ 变成 $k-a*\left\lfloor\dfrac{k}{a}\right\rfloor$形式,那么$\sum\limits_{i=1}^nk\%i=n*k-\sum\limits_{i=1}^ni*\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor$,这样的话因为$\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor$的取值只有$O(\sqrt n)$级别,所以可以每次找到相等…

解题报告：luogu P5745 【深基附B例】数列求和

题目链接:P5745 [深基附B例]数列求和现在想说:$O(N)$的题要不怎么也想不出来,要不灵光乍现,就像这道题. 我们维护一个类似单调队列的加法单调队列: 若相加大于此数,就将队尾元素弹出,直至满足条件,顺便更新下$maxn$值即可. 然后遇见了烦人的头尾双指针,多了个等号就只有$30\;pts$了. $Code$: #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long sum=0…

luogu P4948 数列求和推式子简单数学推导二项式拉格朗日插值

LINK:数列求和每次遇到这种题目都不太会写.但是做法很简单. 终有一天我会成功的. 考虑类似等比数列求和的东西帽子戏法一下. 设$f(k)=\sum_{i=1}^ni^ka^i$ 考虑$af(k)$这个式子两式做差. $(a-1)f(k)=n^n\cdot a^{n+1}-a+\sum_{i=2}^n{a^i((i-1)^k-i^k)}$ 右边直接二项式展开然后交换求和顺序可得. \((a-1)f(k)=n^k\cdot a^{n+1}-a+\sum_{j=0}^{k-1…

luogu P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

传送门这一类题都要考虑推式子首先,原式为\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)*2^j*j!\] 可以看成\[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=j}^{n}S(i,j)\] 又因为\[S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\binom{j}{k}*(j-k)^i\] 所以\[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{j!}…

Luogu P4427 [BJOI2018]求和

这是一道巨狗题,我已无力吐槽为什么我怎么写都不过我们对于这种无修改的边权题目有一个经典的树上差分套路: $ans=sum_x+sum_y-2\cdot sum_{LCA(x,y)}$ 这里的$sum$表示的是从根到这个点的边权前缀和然后这里求的是点权,我们还是用一样的策略,就是树上查分后加上这个点的点权即可,即: $ans=sum_x+sum_y-2\cdot sum_{LCA(x,y)}+node_{LCA(x,y)}$ 然后我们发现$1\le k\le 50$,所以我们预…

Luogu P2261 [CQOI2007]余数求和

最近中考放假几天都在怼一道BJOI2018的水题,但卡死在90pts跑不动啊! 然后今天发现终于过了然而Hack的数据全RE了然后就开始找新的题目来找回信心. 然后发现智能推荐里有这道题,然后想了1min才想到CQOI到底是哪里的原来是重庆呵其实还是一道比较好的除法分块的入门题.动一下脑子就可以做了. 我们先观察一下最基础的式子: $\sum_{i=1}^n k\ mod\ i$ 然后我们利用取余的基本性质,即\(k\ mod\ i=k-i\lfloor\frac{k}{i}\rfloor…

[TJOI2016&&HEOI2016]求和

BZOJ Luogu 求 \[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)*2^j*j!\] 其中$S(i,j)$是第二类斯特林数 $n\le10^5$,模$998244353$ sol 所以说后面两项到底是干什么的把$j$提到前面去 \[f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^j*j!\sum_{i=0}^{n}S(i,j)\] ($i$从$0$开始是没有问题的,因为当$i<j$的时候$S(i,j)=0$) 我们知道 \[S…

luogu 1471

题意: 蒟蒻HansBug在一本数学书里面发现了一个神奇的数列,包含N个实数.他想算算这个数列的平均数和方差. 操作1:1 x y k ,表示将第x到第y项每项加上k,k为一实数. 操作2:2 x y ,表示求出第x到第y项这一子数列的平均数. 操作3:3 x y ,表示求出第x到第y项这一子数列的方差. 数据范围:n,m<=1e5 链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/1471 题解: 是一个不错的数学化简的问题,加上线段树的经典问题首先来看方差…

Luogu P1447 [NOI2010]能量采集

Preface 最近反演题做多了看什么都想反演.这道题由于数据弱,解法多种多样,这里简单分析一下. 首先转化下题目就是对于一个点$(x,y)$,所消耗的能量就是$2(\gcd(x,y)-1)+1=2\cdot\gcd(x,y)-1$(小学奥数题) 所以求和就是求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2\cdot\gcd(i,j)-1=2\cdot\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)-nm$,因此主要问题就变成了求解\(\sum_{i=1}^n…

Luogu P3455 [POI2007]ZAP-Queries

由于之前做了Luogu P2257 YY的GCD,这里的做法就十分套路了. 建议先看上面一题的推导,这里的话就略去一些共性的地方了. 还是和之前一样设: \[f(d)=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b[\gcd(i,j)=d]\] \[F(n)=\sum_{n|d} f(d)=\lfloor\frac{a}{n}\rfloor\lfloor\frac{b}{n}\rfloor\] 还是莫比乌斯反演定理推出: \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac{d…