置换群 设\(N\)表示组合方案集合.如用两种颜色染四个格子,则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\),\(|N|=2^4\). 对于\(N\)上的所有置换,它们组成的群称为置换群,记为\(G\).\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中. Burnside引理 又称轨道计数定理.Burnside计数定理.Cauchy-Frobenius定理.Pólya-Burnside引理. 定理描述为:\(等价类数量=\…

Burnside's lemma 引例 题目描述 一个由2*2方格组成的正方形,每个格子上可以涂色或不涂色, 问共有多少种本质不同的涂色方案. (若两种方案可通过旋转互相得到,称作本质相同的方案) 解法 每个格子可以涂色,可以不涂色,共有16种方案.将16种方案编号. 把本质相同的方案合并: 方案1:{1},方案2:{2}, 方案3:{3,4,5,6},方案4:{7,8,9,10}, 方案5:{11,12},方案6:{13,14,15,16}, 共6种方案. 旋转可以看作是置换,所有置换组成置换…

Problem 起源: SGU 294 He's Circle 遗憾的是,被吃了. Poj有道类似的: Mission 一个长度为n(1≤n≤24)的环由0,1,2组成,求有多少本质不同的环. 实际上,如果使用高精度,那么n可以到1e6级别 群 定义 一个集合G,以及一个二元运算∗. 并且满足: 封闭性 如果a∈G,b∈G,那么a∗b∈G 结合律 如果a∈G,b∈G,c∈G,那么a∗b∗c=a∗(b∗c) 存在单位元 存在c∈G,使得b∗c=c∗b=c 那么c就称为G的单位元. 类似于加法运算中…

Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决…

题意保证了是一个置换群. 根据burnside引理, 答案为Σc(f) / (M+1). c(f)表示置换f的不动点数, 而题目限制了颜色的数量, 所以还得满足题目, 用背包dp来计算.dp(x,i,j,k) = dp(x,i-cntx,j,k)+dp(x,i,j-cntx,k)+dp(x,i,j,k-cntx)表示前x个置换红蓝绿个用了i,j,k次,cntx表示第x个置换的循环数. 然后最后乘(M+1)的乘法逆元就OK了. -----------------------------------…

置换群.Burnside引理与等价类计数问题 标签: 置换群 Burnside引理 置换 说说我对置换的理解,其实就是把一个排列变成另外一个排列.简单来说就是一一映射.而置换群就是置换的集合. 比如\[ \left(\begin{array}1 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \end{array}\right) \]是一个置换.也可以把置换看做定义域和值域都为{1,2,......,n}的函数,…

Burnside引理: 参考自 某大佬对Burnside引理和Polya定理的讲解 相关概念 群:在数学中,群表示一个拥有满足封闭性.满足结合律.有单位元.有逆元的二元运算的代数结构. 置换群:由有限集合各元素的置换所构成的群. 一个置换的形式类似于 然后是Burnside引理: (1)玄学描述 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数. 通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属…

定义简化版: 置换,就是一个1~n的排列,是一个1~n排列对1~n的映射 置换群,所有的置换的集合. 经常会遇到求本质不同的构造,如旋转不同构,翻转交换不同构等. 不动点:一个置换中,置换后和置换前没有区别的排列 Burnside引理:本质不同的方案数=每个置换下不动点的个数÷置换总数(一个平均值) Polya定理:一个置换下不动点的个数=颜色^环个数.(辅助Burnside引理,防止枚举不动点复杂度过高) 这篇文章写得很详细了(具体的在此不说了): Burnside引理与Polya定理 **特…

这个计数定理在考虑对称的计数中非常有用 先给出这个定理的描述,虽然看不太懂: 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数.通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类 那么等价类的个数就等于: 然后理解一下公式 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案?其中,经过转动相同的图象算同一方案. 关于转动,一共有四种置换方法,也就是|G|=4 不动(360度):a1=(1)(2)…

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 问题引入@ @2 - burnside引理@ @3 - pólya定理@ @4 - pólya定理的生成函数形式@ @0 - 参考资料@ 博客1 @1 - 问题引入@ 一个经典问题: 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案? 其中,经过转动相同的图象算同一方案. 假如不考虑转动,各种方案如下所示. 首先可以发现,转动的角度只有 4 种:0°,90°,180°,270°. 然后可以得到,每一次转动可以将一个方案唯一映射成另一个方案(可以是自身). 于是我们可以…