http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6305 题目 对于A,B两个序列,任意的l,r,如果RMQ(A,l,r)=RMQ(B,l,r),B序列里的数为[0,1]的实数,B的重量为B的所有元素的和,否则为0.问你B的期望重量是多少. 分析 准备知识:笛卡尔树https://skywt.cn/posts/cartesian-tree/ RMQ-Similar实际上就是A和B的笛卡尔树一样.于是这个题就是笛卡尔树同构的问题,假设A的笛卡尔树的子树大小为sz…

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6305 看题解,得知: 0~1内随机取实数,取到两个相同的数的概率是0,所以认为 b 序列是一个排列. 两个序列“RMQ相似”,意为它们的笛卡尔树同构.注意有相同值的时候,后出现的应该位于先出现的的子树中. 一个排列的笛卡尔树与给定笛卡尔树同构的概率是 \( \prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{siz_i} \) ,其中 \( siz_i \) 表示树上编号为 i 的点的子树大小…

题意: 对于一个序列a,构造一个序列b,使得两个序列,对于任意的区间 [l, r] 的区间最靠近左端点的那个最大值的位置,并且序列 b 满足 0 < bi < 1. 给定一个序列 a ,求序列 b 中所有元素的和的期望. Sample Input 3 3 1 2 3 3 1 2 1 5 1 2 3 2 1 Sample Output 250000002 500000004 125000001 题解: 若满足题意,则 a 和 b 的笛卡尔树同构. 因为 bi 在 0 到 1 之间,故 bi 的期…

话说我noip之前为什么要学这种东西... 简介 笛卡尔树(Cartesian Tree) 是一种二叉树, 且同时具有以下两种性质: 父亲节点的值大于/小于子节点的值; 中序遍历的结果为原序列. 笛卡尔树可以实现 \(O(n)\) 预处理, 均摊 \(O(1)\) 查询的序列rmq操作. 建立 由于第2条性质, 插入的新节点一定在二叉树的右子树链上. 维护一个右子树链的栈, 进行以下操作: 插入一个新节点 \(p\) 如果栈顶元素 \(u\) 的值小于 \(p\), 弹出 \(u\), 并将其设…

思路: O(n)建一颗笛卡尔树,再O(n)dfs向上合并答案就行了. #define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); #include <cstdio>//sprintf islower isupper #include <cstdlib>//malloc exit strcat itoa system("cls") #include <iostream>//pair #include &l…

A histogram is a polygon composed of a sequence of rectangles aligned at a common base line. The rectangles have equal widths but may have different heights. For example, the figure shows the histogram that consists of rectangles with the heights 2,…

Equivalent Prefixes 单调栈(笛卡尔树) 题意: 给出两个数组u,v,每个数组都有n个不同的元素,RMQ(u,l,r)表示u数组中[l,r]区间里面的最小值标号是多少,求一个最大的m,使得两个数组中[1,m]任一区间的最小值标号都相同 分析 想到最小值标号并且是在一维数组中,就要很自然地想到单调栈,同时笛卡尔树和单调栈密不可分,所以衍生了两种解法. 解法1:单调栈 从左到右扫,如果左边界相同,则继续往左扫,直到找到最大值. 证明reference:https://www.cnb…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4755 题目大意 \(n\)个数字的一个序列,求有多少个点对\(i,j\)满足\(a_i\times a_j\leq max\{a_k\}(k\in[l,r])\) 解题思路 如果构建一棵笛卡尔树的话那么两个点之间的\(max\)就在笛卡尔树的\(LCA\)位置. 所以对于每个位置维护一个线段树,然后每次暴力枚举小的那棵子树在大子树的线段树中查询即可.然后线段树合并或者启发式合并上去就好了. 建笛卡尔树的时候用…

2178 表达式运算Cuties  时间限制: 1 s  空间限制: 32000 KB  题目等级 : 大师 Master 题解  查看运行结果     题目描述 Description 给出一个表达式,其中运算符仅包含+,-,*,/,^要求求出表达式的最终值 数据可能会出现括号情况 还有可能出现多余括号情况 数据保证不会出现>maxlongint的数据 数据可能回出现负数情况 输入描述 Input Description 仅一行,即为表达式 输出描述 Output Description 仅一…

[题目分析] 本来是单调栈的题目,用笛卡尔树可以快速的水过去. 把每一个矩阵看成一个二元组(出现的顺序,高度). 然后建造笛卡尔树. 神奇的发现,每一个节点的高度*该子树的大小,就是这一块最大的子矩阵的可能解. 用二元组的第一个下标来限制,使它们在一块儿,然后堆的性质又限制了宽度以及高度. 计算,取最值即可. [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cmath&g…

题目描述 对于1 位二进制变量定义两种运算: 运算的优先级是: 先计算括号内的,再计算括号外的. “× ”运算优先于“⊕”运算,即计算表达式时,先计算× 运算,再计算⊕运算.例如:计算表达式A⊕B × C时,先计算 B × C,其结果再与 A 做⊕运算. 现给定一个未完成的表达式,例如+(*_),请你在横线处填入数字0 或者1 ,请问有多少种填法可以使得表达式的值为0 . 输入输出格式 输入格式: 输入文件名为exp.in ,共 2 行. 第1 行为一个整数 L,表示给定的表达式中除去横线外的运…

[题目分析] 构造一颗笛卡尔树,然后输出这棵树即可. 首先进行排序,然后用一个栈维护最右的树的节点信息,插入的时候按照第二关键字去找,找到之后插入,下面的树成为它的左子树即可. 然后插入分三种情况讨论(最下面,中间,成为了新的树根) [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; struct nod…

笛卡尔树: 每个节点有2个关键字key.value.从key的角度看,这是一颗二叉搜索树,每个节点的左子树的key都比它小,右子树都比它大:从value的角度看,这是一个堆. 题意:以字符串为关键字key,数字为关键字value,构造一个二叉搜索大堆,最后按要求中序遍历 笛卡尔树的构造. 建立笛卡尔树的O(n)的算法: 从别人博客里拷贝过来的,这里给出链接:http://hi.baidu.com/yy17yy/item/cd4edcf963944f6a3d148553 首先按key关键字进行排序…

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MB Description Input Output Sample Input 10 ponoiiipoi 2 1 4 7 4 8 3 6 4 7 Sample Output 45 56 10 56 3 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HINT Solution 先求出后缀数组,两个后缀的最长公共前缀是它们之间height的最小值,对height建笛卡尔树,树上维护最大最小值即可. Cod…

BZOJ SPOJ 直观的想法是构建笛卡尔树(每次取最小值位置划分到两边),在树上DP,这样两个儿子的子树是互不影响的. 令\(f[i][j]\)表示第\(i\)个节点,放了\(j\)个车的方案数. 设\(v\)是\(i\)的一个儿子,对于子树部分的转移,有\[f'[i][j]=\sum_{k\leq j}f[v][j-k]f[i][k]\] 求完子树贡献后,对于\(i\)节点代表的矩形,设高度是\(h\)宽度是\(w\),有\[f'[i][j]=\sum_{k\leq j}f[i][j-k]\…

考虑建一棵小根堆笛卡尔树,即每次在当前区间中找到最小值,以最小值为界分割区间,由当前最小值所在位置向两边区间最小值所在位置连边,递归建树.那么该笛卡尔树中的一棵子树对应序列的一个连续区间,且根的权值是这段区间的最小值. 在笛卡尔树上跑树形dp.设f[i][j]为在i子树对应棋盘中放j个车的方案数,且棋盘中只考虑这段区间在根的父亲高度上方的部分.转移考虑合并两棵子树再在新增加的矩形部分放车即可,捣鼓一下组合数. #include<iostream> #include<cstdio>…

在刷了许多道平衡树的题之后,对平衡树有了较为深入的理解,在这里和大家分享一下,希望对大家学习平衡树能有帮助. 平衡树有好多种,比如treap,splay,红黑树,STL中的set.在这里只介绍几种常用的:treap.splay和替罪羊树(其中treap包括旋转treap和非旋转treap). 一.treap treap这个词是由tree和heap组合而成,意思是树上的的堆(其实就是字面意思啦qwq).treap可以说是由二叉搜索树(BST)进化而来,二叉搜索树每个点满足它左子树中所有点权值都比它…

不连续的处理很麻烦 导致序列DP又找不到优秀的子问题 自底向上考虑? 建立小根堆笛卡尔树 每个点的意义是:高度是(自己-father)的横着的极大矩形 子问题具有递归的优秀性质 f[i][j]i为根子树,放j个 儿子背包合并 考虑本层的矩形放多少个 枚举一共放t个,本层放j个 对于子树里的放置的t-j个,不论怎么放,一定占据了t-j列,剩下W[i]-(t-j)个位置 转移是: https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/79359547 当…

[BZOJ2658][Zjoi2012]小蓝的好友(mrx) Description 终于到达了这次选拔赛的最后一题,想必你已经厌倦了小蓝和小白的故事,为了回馈各位比赛选手,此题的主角是贯穿这次比赛的关键人物——小蓝的好友. 在帮小蓝确定了旅游路线后,小蓝的好友也不会浪费这个难得的暑假.与小蓝不同,小蓝的好友并不想将时间花在旅游上,而是盯上了最近发行的即时战略游戏——SangoCraft.但在前往通关之路的道路上,一个小游戏挡住了小蓝的好友的步伐. “国家的战争其本质是抢夺资源的战争”是整款游戏…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2616 把相同高度的连续一段合成一个位置(可能不需要?),用前缀和维护宽度. 然后每次找区间里最低的那个点(ST表)作为根,递归左右孩子,构建笛卡尔树. dp[ cr ][ j ] 表示在 cr 的子树里选择 j 个点的方案数. 自己本来写的是同时枚举 cr 这个点.ls .rs 各贡献了多少个车,结果TLE. 看看题解,发现这样比较好(至多 \( n^3 \) ),就是先 \( dp[ c…

题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1934 根据给出的信息,可以递归地把笛卡尔树建出来.一个点只应该有 0/1/2 个孩子,不然就是无解. dp[ cr ] 表示把 1~siz[cr] 填进 cr 这个子树的方案数.那么 \( dp[cr]=C_{siz[cr]-1}^{siz[ls]}*dp[ls]*dp[rs] \) . 注意在各种地方判断无解!如果是 l , cr , r 的话,左孩子应该是 l , ls…

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1506 关于笛卡尔树的构建:https://www.cnblogs.com/reverymoon/p/9525764.html 笛卡尔树在 key 上满足二叉搜索树,在 value 上满足堆:一般 key 就是原序列里的位置,这样一个子树对应原序列的一段连续区间. 这个构建方法就是给最右链维护单调栈,新进来第 i 个元素之后,根据 value 是堆的规则弹栈,然后把自己的左孩子设成最后弹掉的那个点,把自己…

前言 最近做题目,已经不止一次用到笛卡尔树了.这种数据结构极为优秀,但是构造的细节很容易出错.因此写一篇文章做一个总结. 笛卡尔树 Cartesian Tree 引入问题 有N条的长条状的矩形,宽度都为1,第i条高度为Hi,相邻的竖立在x轴上,求最大的子矩形面积. 约定 1 ≤ N ≤ 105 1 ≤ Hi ≤ 109 分析 我们只需要求出每条矩形最多可以向两边拓展的宽度,就可以算出以这个矩形高度为高的最大子矩形面积.最后我们求一个最大值即可. 下面我们还是回到之前的笛卡尔树. 概念 笛卡尔树的…

题目链接 Problem Description There is an apple tree in front of Taotao's house. When autumn comes, n apples on the tree ripen, and Taotao will go to pick these apples. When Taotao picks apples, Taotao scans these apples from the first one to the last one…

[BZOJ2616]SPOJ PERIODNI Description Input 第1行包括两个正整数N,K,表示了棋盘的列数和放的车数. 第2行包含N个正整数,表示了棋盘每列的高度. Output 包括一个非负整数,表示有多少种放置的方案,输出答案mod 1000000007后的结果即可. Sample Input 5 2 2 3 1 2 4 Sample Output 43 HINT 对于100%的数据,有 N≤500,K≤500,h[i] ≤1000000. 题解:一看题就感觉应该是单调…

题目链接 题意:求一个序列的最大的(区间最小值*区间和) 线段树做法:用单调栈求出每个数两边比它大的左右边界,然后用线段树求出每段区间的和sum.最小前缀lsum.最小后缀rsum,枚举每个数a[i],设以a[i]为最小值的区间为[l,r] 若a[i]>0,则最优解就是a[i]*([l,r]的区间和),因为[l,r]上的数都比a[i]大. 若a[i]<0,则最优解是a[i]*([l,i-1]上的最小后缀+a[i]+[i+1,r]上的最小前缀),在线段树上查询即可. 复杂度$O(nlogn)$…

题面 请务必不要吐槽我的标签 传送门 思路 一个很重要的结论:原序列的一组同构的解等价于同一棵拥有$n$个节点的笛卡尔树 注意笛卡尔树的定义:父亲节点是区间最值,并且分割区间为左右部分 所以如果两个序列的笛卡尔树同构,那么他们的每一个区间最小值位置相同,也就是原题目中的同构条件了 一个很重要的结论:定义笛卡尔树节点的深度为根到这个节点的路径上向左走的次数,那么合法序列的笛卡尔树所有节点深度不超过$m$ 首先,我们可以定义区间的父节点是所有最值中最靠左的,那么容易得到,节点的左儿子中的所有权值严格…

D. Wizards and Roads 题目连接: http://www.codeforces.com/contest/167/problem/D Description In some country live wizards. They love to build cities and roads. The country used to have k cities, the j-th city (1 ≤ j ≤ k) was located at a point (xj, yj). It…

笛卡尔树就是你给两维限制,一维堆R,一维二叉搜索树K,平地拔起一棵Treap,最广范的应用:用LCA求区间最值,建Treap,还有个什么范围top k我表示并不会查都查不到.它最妙最高的地方在于用栈来建树:我们可以先排序K然后一个个插入,那么我们都是最右端,横容易被卡,那么我们不从上到下,我们从下到上,用栈维护,那就把时间复杂度从O(n^2)降到O(n),具体过程见下图从图一到图二就是这么一个过程,我们在把K为13的点插入时要找到一个合适的位置,上比他大,下比他小(假设大根堆) 下面见代码 #i…

相应POJ 题目:点击打开链接 Binary Search Heap Construction Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 9075   Accepted: 2566 Description Read the statement of problem G for the definitions concerning trees. In the following we define the basic…