Bell Time Limit:3000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 4767   Description What? MMM is learning Combinatorics!? Looks like she is playing with the bell sequence now: bell[n] = number of ways to pa…

组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.html 以下部分节选自 http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/40888349 第一类Stirling数 定理:第一类Stirling数$s(p,k)$计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数. 证明:把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈…

前面说到了Catalan数,现在来了一个Bell数和Stirling数.什么是Bell数,什么是Stirling数呢?两者的关系如何,有用于解决什么算法问题呢? Bell数是以Bell这个人命名的,组合数学中的一组整数数列:B0=1,B1=1,B2=2,B3=5,B4=15,B5=52,B6=203.... Bn是基数为n的集合的划分方法数目.集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,他们的并是S.例如B3=5,集合S={1,2,3}的5中划分就是 {{1},{2},{3}} {{1…

题目链接: D. Symmetric and Transitive time limit per test 1.5 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Little Johnny has recently learned about set theory. Now he is studying binary relations. You've probabl…

定义 bell数即一个集合划分的数目 示例 前几项的bell数列为 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975 ,... 求值方法 1.bell数适合递推公式 2.每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和   3.用一下方法可以构造一个bell三角形(Aitken阵列或Peirce三角形) 1)第一行第一列是1 2)对于n>1,第n行第一列等于上一行的最后一个数 3)对于n>1,m>1,第n行第m列=第n行…

贝尔数 贝尔数是以埃里克·坦普尔·贝尔命名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列): $$B_0 = 1, B_1 = 1, B_2 = 2, B_3 = 5, B_4 = 15, B_5 = 52, B_6 = 203, ...$$ $B_n$ 的含义是基数为 $n$ 的集合划分成非空集合的划分数. 例如, $B_3=5$ 是因为3个元素的集合有5种划分方法: {{a}, {b}, {c}} {{a}, {b, c}} {{b}, {a, c}} {{c}, {a,…

一.第二类Stirling数 定理:第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数. 证明:元素在哪些盒子并不重要,唯一重要的是各个盒子里装的是什么,而不管哪个盒子装了什么. 递推公式有:S(p,p)=1 (p>=0)         S(p,0)=0  (p>=1)         S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   (1<=k<=p-1) .考虑将前p个正整数,1,2,.....p的集合作为要被…

  考虑 T3+1  {1,2,3,4} T3是3个元素的划分,如果在里面加入子集{4},   4被标成特殊元素,  就形成了T4一类的划分(里面的子集的并集是{1,2,3,4}) T2是2个元素的划分,如果在里面加入子集{4,x1} -- x是从{1,2,3}里面任意取一个, {4,x}加到T2的划分中形成了T4的一类划分. 就是带特殊元素4,子集是2个元素的{4,x}形式的一类划分. T1是1个元素的划分,如果在里面加入子集{4,x1,x2}--x1,x2是从{1,2,3}里任意取二个,{4…

事实上,\[e^{(e^t-1)x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k(x)}{k!}.\]\[B_n(x)=x\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}B_{k-1}(x),\] 其中$B_0(x)=1$.%http://mathworld.wolfram.com/BellPolynomial.html \[B_n=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}B_k=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{\infty}\frac…

题意 设第 $n$ 个Bell数为 $B_n$,求 $B_n \ mod  \ 95041567$.($1 \leq  n  \leq  2^{31}$) 分析 贝尔数的概念和性质,维基百科上有,这里用到两点. 若 $p$ 是任意素数,有 $B_{p+n} = B_n + B_{n+1}(mod \ p)$ 每个贝尔数都是相应第二类斯特林数之和,即 $B_n = \sum_{k=1}^nS(n, k)$ 贝尔数的这个递推式只适合质数,我们可以将模数拆成质数,然后用CRT合并. $95041567…