O(n) 筛选素数 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int M = 1e6 + 10 ; int mindiv[M] ;//每个数的最小质因数 int prim[M] , pnum ;//存素数 bool vis[M] ; void prim () { for (int i = 2 ; i < M ; i ++) { if (!vis[i]) { mindiv[i] = i ; prim[ pnum++ ] = i ;…

/* 题意:(n)表示小于n与n互质的数有多少个,给你两个数a,b让你计算a+(a+1)+(a+2)+......+b; 初步思路:暴力搞一下,打表 #放弃:打了十几分钟没打完 #改进:欧拉函数:具体证明看po主的博客 ^0^ #超时:这里直接用欧拉函数暴力搞还是不可以的,用到线性筛欧拉函数,这里总和爆int,要用long long */ #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; /***********…

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),…

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2190 分析:就是要线性筛出欧拉函数... 直接贴代码了: memset(ans,,sizeof(ans)); ans[]=; ;i<=n;++i) if(!ans[i]) for(int j=i;j<=n;j+=i) { if(!ans[j]) ans[j]=j; ans[j]=ans[j]/i*(i-); }…

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2560  Solved: 857[Submit][Status][Discuss] Description 大富翁国因为通货膨胀,以及假钞泛滥,政府决定推出一项新的政策:现有钞票编号范围为1到N的阶乘,但是,政府只发行编号与M!互质的钞票.房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量.现在,请你帮助沙拉公主解决这个问题,由于可能张数非…

简化题意可知,实际上题目求得是gcd(i,j)=1(i,j<=n)的数对数目. 线性筛出n大小的欧拉表,求和*2+1即可.需要特判1. # include <cstdio> # include <cstring> # include <cstdlib> # include <iostream> # include <vector> # include <queue> # include <stack> # inclu…

强烈鸣谢wddwjlss 题目大意:给出一个奇素数,求出他的原根的个数,多组数据. 这里先介绍一些基本性质 阶 设\((a,m)=1\),满足\(a^r \equiv 1 \pmod m\)的最小正整数r叫做整数a模m的阶 那么给出一个定理: 设\((a,m)=1\),r为a摸m的阶,则对于每个正整数k,\(a^k \equiv 1 \pmod m\) 当且仅当\(r|k\),特别地,\(r|\phi(m)\) 阶的一些性质 设\((a,m)=1\),r为a摸m的阶,当且仅当二条件成立: \(a…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 题意:给定整数N,求1<=x,y<=n且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对 思路:先筛出n以内所有的素数顺便筛出欧拉函数,\(gcd(x,y)=k\)等价于\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1\) 所以这个问题可以转化为求\(ans=\sum_{i=1}^{tot}\sum_{j=1}^{n/prime[i]}phi[j]\) ,tot为…

整数的唯一分解定理: \(\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod\limits _{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}}=A\),其中\({\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{s}}\)而且 \(p_{i}\)是一个质数, \(a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}\)(摘自维基百科) 欧拉筛通过使每个整数只会被它的最小质因子筛到来保证时间复杂度,…

The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b) = 1 arranged in increasing order. The first few are F2 = {1/2} F3 = {1/3, 1/2, 2/3} F4 = {1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3…

题目链接 \(Description\) \(n\leq 10^{10}\),求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\ mod\ (1e9+7)\] \(Solution\) 首先 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\] 注意不是\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\sum…

传送门:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 若gcd(x, y) = 1,则gcd(x * n, y * n) = n.那么,当y固定不变时,小于y且与y互质的个数为phi(y),所以此时对答案的贡献是phi(y) * 小于等于 n / y的素数的个数 * 2,最后乘2是因为数对是有序的.到最后,还要加上小于等于n的素数个数,因为(p, p)这种x = y的数对并没有计算进去. #include <cstdio> const…

洛谷题目传送门 分数其实就是一个幌子,实际上就是求互质数对的个数(除开一个特例\((1,1)\)).因为保证了\(a<b\),所以我们把要求的东西拆开看,不就是\(\sum_{i=2}^n\phi(i)\)吗? 关于通过筛素数线性求欧拉函数的一点思路总结在蒟蒻的blog里 剩下的就是记一个前缀和了. #include<cstdio> #define R register const int N=1000001; int pr[N],phi[N]; long long ans[N]; bo…

筛素数 void shai() { no[1]=true;no[0]=true; for(int i=2;i<=r;i++) { if(!no[i]) p[++p[0]]=i; int j=1,t=i*p[1]; while(j<=p[0] && t<=r) { no[t]=true; if(i%p[j]==0) //每一个数字都有最小质因子.这里往后的数都会被筛过的,break break; t=i*p[++j]; } } } O(n)筛欧拉函数 void find()…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

1.某神犇Blog 学了三遍的 欧拉函数φ--DEADFISH7 2.我要做一些补充o(*￣▽￣*)o $φ(1)=1$: 公式有两种形式,一种有太多除法,实际可能会慢些.通用 对于任意$n$>1,1~$n$中与$n$互质的数之和等于$n*φ(n)/2$. 是积性函数. $sigma(d|n) φ(d)=n$. 代码实现 1°:朴素的质因数分解顺便求出 void init_phi() { int ans=n; ;i<=sqrt(n);i++) { ) { ans=ans/i*(i-); ) n…

给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 如果两个数的x,y最大公约数是z,那么x/z,y/z一定是互质的 然后找到所有的素数,然后用欧拉函数求一下前缀和就行 #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; ; const int INF=0x3f3f3…

题目描述 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图).    现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数. 输入 共一个数N. 输出 共一个数,即C君应看到的学生人数. 样例输入 4 样例输出 9 题解 欧拉函数 将左下角的点的坐标视为(0,0),则如果一个除(0,1)和(1,0)以外点能够被看见,它的横纵坐标必定互质. 那么可以盖住左上半部…

题目链接 做过\(n\)遍这种题了... 答案就是\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n/i}[\varphi(j)*i]\) 线筛欧拉函数求前缀和直接算就行. #include <cstdio> const int MAXN = 2000010; int v[MAXN], prime[MAXN], cnt, n; long long ans, phi[MAXN]; int main(){ scanf("%d", &n); phi[1] = 1;…

题目描述 Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n. 输入 The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n. 输出 Ou…

欧拉函数: 对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目. POJ 2407.Relatives-欧拉函数 代码O(sqrt(n)): ll euler(ll n){ ll ans=n; ;i*i<=n;i++){ //这里i*i只是为了减少运算次数,直接i<=n也没错, ){ //因为只有素因子才会加入公式运算.仔细想一下可以明白i*i的用意. ans=ans/i*(i-); ) n/=i; //去掉倍数 } } ) ans=ans/n*(n-); return ans; }…

Farey Sequence Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 14291   Accepted: 5647 Description The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b)…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2…

转载自:http://www.cnblogs.com/candy99/p/6200660.html 2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y…

今天zky学长讲数论,上午水,舒爽的不行..后来下午直接while(true){懵逼:}死循全程懵逼....(可怕)Thinking Bear. 2190: [SDOI2008]仪仗队 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 2092 Solved: 1325 [Submit][Status][Discuss] Description 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整…

线性筛的思想:每个被筛的数是通过它最小的质因子所筛去的. 这种思想保证了每个数只会被筛一次,从而达到线性.并且,这个思想实现起来非常巧妙(见代码注释)! 因为线性筛的操作中用到了倍数的关系去实现,因此欧拉函数可以顺便也计算出来,根据完全积性函数的性质还有数学推算,直接一条语句就算出来了. #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<a…

这题有两种解法,1是根据欧拉函数性质:素数的欧拉函数值=素数-1(可根据欧拉定义看出)欧拉函数定义:小于x且与x互质的数的个数 #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<vector> #include<cstdio> #include<cassert> #include<iom…

题目描述 求 输入 第一行包含一个正整数T,表示有T组测试数据.接下来T<=10^5行,每行给出一个正整数N,N<=10^6. 输出 包含T行,依次给出对应的答案. 样例输入 7 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 样例输出 1 2127 18446224 183011304660 1827127167830060 18269345553999897648 182690854273058293758232 题解 “高精度”+欧拉函数+线性筛 由于$i$和$j$…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 3241  Solved: 1437[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1&…

向大(hei)佬(e)势力学(di)习(tou) Description 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图). 现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数. Input 共一个数N. Output 共一个数,即C君应看到的学生人数. Sample Input 4 Sample Output 9 HINT [数据规模和约定] 对于 10…