评:这是一道浙江省省赛题,这里利用对称性,设$x\le y\le z$从而解决了问题.值得注意的是此处三元轮换对称正好也是完全对称,但如果变成一般的$n\ge4$元对称问题时,就不能设大小关系.事实上有如下难题: 解答:…

刚刚过去的IMO,中国史无前例地获得了第三名,也是自1997年来近20年首次跌出前二.感谢微信等社交软件,相信现在这个新闻已经以火箭的速度传播了. 作为一个与数学竞赛及IMO打了多年交道的人,我一直有写点什么东西的冲动,但一直由于懒癌拖拖拖.赶上此时此事,我觉得不能再拖了,写一点感受吧. Part1 曾经的霸主 中国的奥数强不强?是不是梦之队? 五年前你问我,我会很干脆地回答就是梦之队,但现在你问我,我会说,强,但不是梦之队. 圈内普遍认为,中国在IMO上大放异彩大约就是2000-2010这十年…

已知\(a+b=1\),求\((a^3+1)(b^3+1)\)的最大值______ : 解答: \[ \begin{align*} (a^3+1)(b^3+1) &=a^3+b^3+a^3+b^3+1\\ &=(a+b)^3(a^2+b^2-ab)+a^3b^3+1\\ &\overset{t=ab}{=}t^3-3t+2\\ &=(t-1)^2(t+2)\\ &=\dfrac{1}{2}(1-t)(1-t)(2t+4)\le4\\ \end{align*}\] 当…

评:切线不等式和琴生(Jesen)不等式都是有其几何意义的,在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式.已知的条件往往就是线性条件,从而可以得到最值.…

注:康拓诺维奇不等式的应用…

解答:这里数学归纳法证明时指出关键的变形. 评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外,单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目.…

(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$ 证明:\begin{align*}\textbf{原式} & \iff 2\sum{(y+z)(z+x)}-5\prod(x+y)\ge0\\ & \iff 2\sum{z^2+(x+y)z+xy}-5\left((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\right)\ge0\\ &…

若正实数$x,y$满足$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则 $y$ 的最大值为____ 解答:$x^3+y^3+y^2=4(x-y)y\le x^2$,故$y^3+y^2=x^2-x^3=\dfrac{x(2-2x)x}{2}\le\dfrac{4}{27}$,故由$f(t)=t^3+t^2$的单调性$y\le \dfrac{1}{3}$…

当$x,y\ge0,x+y=2$时求下面式子的最小值:1)$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$ 解:1)$P(x,y)$为直线$x+y=2$上一点,点$H$为$P$到$y$轴的投影点, 设$A(1,0)$则$A$关于$x+y=2$的对称点$A'(2,1)$ 故$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}=|PH|+|PA|= |PH|+|PA'|\ge2$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x…

已知 $a,b,c\in\mathbb R$,求证:$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$ 分析:不妨设$c=\max\{a,b,c\},\dfrac{a}{c}=x,\dfrac{b}{c}=y$两边同除$|c|$后只需证明 $|x|+|y|+1+|x+y+1|\ge|x+y|+|y+1|+|x+1|$注意到恒等式$|x|+|y|+|z|=\max\{|x+y+z|,|x+y-z|,|x-y+z|,|x-y-z|\}$,易得. 练习:…