题目链接 luoguP3768 简单的数学题 题解 上面那个式子的最后一步,需要定理 用数学归纳法证明 \(S1=1^3=1^2\) \(S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2\) \(S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2\) \(S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2\) \(S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2\) 假设当\(n=k\)时,有\(Sk=1^3+2^3+..…

大佬们绕道吧(或跳到错误&启发后下一根横线后) 这道题吧正解是莫比乌斯反演吧,但本人有一种独创玄妙的想法去偏分 这道题是让我们求这个对吧 \((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\) 先把\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\)内的\(ij\)去掉式子变成了\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n gcd(i,j))~mod~p\) 怎么算呢 \((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n gcd(i,j))…

Description 传送门 给一个整数\(n\),让你求 \[ \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n ij\gcd(i,j) \] 对一个大质数\(p\)取模. 保证\(n \le 10^{10},5\times 10^{8} \le p \le 1.1 \times 10^9\),\(p\)为质数 Solutions 先来推柿子好了,枚举\(\gcd\)的取值,有 \[ \begin{aligned} Ans&=\sum\limits_{k} k\…

1037: 一个简单的数学题 [数学] 时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB提交: 259 解决: 41 统计 题目描述 小明想要知道$a^b$的值,但是这个值会非常的大. 所以退而求其次,小明想让你帮他求出来$(a^b) \% c$的值. 输入 第一行为一个数$n$,表示有$n$组数据. 每组数据有三个整数$a$,$b$,$c$. $1 \leq a,b,c \leq 50000$ $1 \leq n \leq 1100$ 输出 每组数据有一行输出:输出$(a^b) \%c $.…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

[LG3768]简单的数学题 题面 求 \[ (\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j))\text{mod}p \] 其中\(n\leq 10^{10},5\times 10^8\leq p \leq 1.1*10^9\). 题解 推柿子: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\text{gcd}(i,j)\\ =\sum_{d=1}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\…

P3768 简单的数学题 题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数\(n\)和一个整数\(p,\)你需要求出\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j)) \bmod p\),其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数. 刚才题面打错了,已修改 输入输出格式 输入格式: 一行两个整数\(p\).\(n\). 输出格式: 一行一个整数\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))\b…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 这是一道非常简单的数学题. 最近 LzyRapxLzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书,在看到数论那一章的时候, LzyRapxLzyRapx 突然想到这样一个问题. 设 \[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \] 其中,\(\mathrm{lcm}(a,b)\) 表示…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

P3768 [简单的数学题] \(Ans=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ijgcd(i,j)\) \(=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{n}_{j=1}ij\sum _{k|i,k|j} φ(k)\) \(=\sum ^{n}_{k=1} φ(k) \sum _{k|i}\sum _{k|j}ij\) \(=\sum ^{n}_{k=1}\varphi (k) k^{2} (\sum ^{n/k}_{i=1}i)^{2}\) \(=\sum ^{n}_{…