题目大意:刚开始有一个数$x=0$,每秒钟有一个数$y\in[0,2^n)(n\leqslant20)$按一定概率随机出现,数$i$的概率为$p_i$,保证$\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}p_i=1$.然后$x\to x|y$,问期望多少时间后,$x=2^n-1$ 题解:$Min-Max$容斥$$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\\\min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-…

题目分析 与hdu4336 Card Collector相似,使用min-max容斥. 设\(\max(S)\)表示集合\(S\)中最后一位出现的期望时间. 设\(\min(S)\)表示集合\(S\)中最初一位出现的期望时间. 由min-max容斥可得: \(\max(T)=\sum\limits_{S \subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(S)\) 考虑求每一个\(\min(S)\). 一个很显然的暴力代码: for(int i=0;i<(1<<n);i++){ d…

「PKUWC2018」随机游走(min-max容斥+FWT) 以后题目都换成这种「」形式啦,我觉得好看. 做过重返现世的应该看到就想到 \(min-max\) 容斥了吧. 没错,我是先学扩展形式再学特殊形式的. \[E(\text{max}(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\text{min}(T))\] 问题转化之后,然后我们可以枚举所有状态然后 \(O(n)\) 树形 \(dp\) \(-1\) 那项可以 \(O(2^n)\) 推出来,接下来就是子集…

[luogu 3175] [HAOI2015]按位或 题面 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行按位或运算.问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. 分析 前置知识:min-max容斥 记\(\max(S)\)为集合\(S\)中的最大值,\(\min(S)\)为集合\(S\)中的最小值(如果\(S=\emptyset\) ,那\(\max(S)=\min(S)=0\)),那么有 \[\max(S)=\sum _{T\subseteq S}…

洛谷 P3177 [HAOI2015]树上染色 树形DP 题目描述 有一棵点数为 \(n\) 的树,树边有边权.给你一个在 \(0 \sim n\)之内的正整数 \(k\) ,你要在这棵树中选择 \(k\) 个点,将其染成黑色,并将其他 的 \(n−k\) 个点染成白色.将所有点染色后,你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间的距离的和的受益.问受益最大值是多少. 输入格式 第一行包含两个整数 \(n,k\). 第二到 \(n\) 行每行三个正整数 \(fr,to,dis\)表示该树中存在一条…

题目大意 给你一个无向图,有\(m\)个询问,每次给你一个点\(x\)和一个点集\(S\),问你从\(x\)开始走,每次从一个点随机的走到与这个点相邻的点,问你访问\(S\)中每个点至少一次的期望步数是多少. \(n\leq 18,m\leq 100000\) 题解 有个东西叫min-max容斥: \[ \max(S)=\sum_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}{(-1)}^{|T|+1}\min(T) \] 这道题中,\(\min(S)\)是从点\(x\)开始走…

其实也不是FWT--我也不知道刷FWT专题问什么会刷出来这个东西 这是min-max容斥讲解:https://www.zybuluo.com/ysner/note/1248287 总之就是设min(s),max(s)分别表示集合s里最早和最晚出现的元素,显然E(amx(全集))就是答案 然后有这样的式子: \[ E(max(s))=\sum_{s'\in s}E(min(s'))*(-1)^{|s'|+1} \] \[ E(min(s))=\frac{1}{\sum_{s'\cap s!=\ph…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3175 题目大意 开始有一个\(n\)位二进制数\(s=0\),每次有\(p_i\)概率选取数字\(i\)让\(s\)或上这个数字\(i\),求期望多少次能够让\(s\)的\(n\)个位都变为\(1\). 解题思路 因为是或所以我们只关心最后一个选中的数,设第\(i\)位选中的期望次数为\(E(i)\)的话答案就是\(max\{E(i)\}\). 又是期望又是\(max\)所以可以直接上\(\text{min-…

BZOJ原题链接 洛谷原题链接 很明显的树形\(DP\). 因为记录每个点的贡献很难,所以我们可以统计每条边的贡献. 对于每一条边,设边一侧的黑点有\(B_x\)个,白点有\(W_x\),另一侧黑点有\(B_y\),白点有\(W_y\),边权为\(w\),那么这条边的贡献就是\((W_x\times W_y + B_x\times B_y)\times w\). 然后设计\(DP\)状态,定义\(f[x][v]\),表示以\(x\)为根的子树里分配\(v\)个黑点的最大贡献. 初始化为\(-1\…

题面传送门 一道挺综合的 hot tea,放到 PKUWC 的 D2T2 还挺喜闻乐见的( 首先我们考虑怎样对一个固定的集合 \(S\) 计算答案,注意到我们要求的是一个形如 \(E(\max(S))\) 的式子,套用 Min-Max 反演可将其转化为 \(\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(\min(T))\),我们记 \(g_T=(-1)^{|T|-1}E(\min(T))\),那么 \(ans_S=\sum\limits_{T\subseteq…