\(BSGS(baby-step-giant-step)\)算法是用来解高次同余方程的最小非负整数解的算法,即形如这个的方程: \(a^x\equiv b(mod\ p)\) 其中\(p\)为质数(其实只要(\((a,p)=1\)即可) 首先考虑暴力怎么解:由费马小定理可知\(a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\),也就是说如果在\([0,p-1]\)内无解的话,方程就是无解的.所以我们从小到大枚举\([0,p-1]\)中的每一个数,满足方程就结束.但是这里\(p-1\)并不一定是最…

求解A^x ≡ B mod P (P不一定是质数)的最小非负正整数解 先放几个同余定理: 一.判断如果B==1,那么x=0,算法结束 二.若gcd(A,P)不能整除 B,则 无解,算法结束 三.若gcd(A,P)!=1,令d=gcd(A,P),若d不能整除B,则无解,算法结束. 有 四.持续步骤三,直至 gcd(A,)=1 有  五.枚举 0<x<k,若有解,输出x,算法结束 六.对于x>=k, A=,B=,P= A,P 互素 , 直接用BSGS 求    * A ^ x ≡ B mod…

从这里开始 离散对数和BSGS算法 扩展BSGS算法 离散对数和BSGS算法 设$x$是最小的非负整数使得$a^{x}\equiv b\ \ \ \pmod{m}$,则$x$是$b$以$a$为底的离散对数,记为$x = ind_{a}b$. 假如给定$a, b, m$,考虑如何求$x$,或者输出无解,先考虑$(a, m) = 1$的情况. 定理1(欧拉定理) 若$(a, m) = 1$,则$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m}$. 证明这里就不给出,因为在百度上随便搜一…

BSGS算法 \(Baby Step Giant Step\)算法,即大步小步算法,缩写为\(BSGS\) 拔山盖世算法 它是用来解决这样一类问题 \(y^x = z (mod\ p)\),给定\(y,z,p>=1\)求解\(x\) 普通的\(BSGS\)只能用来解决\(gcd(y,p)=1\)的情况 设\(x=a*m+b, m=\lceil \sqrt p \rceil, a\in[0,m), b\in[0,m)\) 那么\(y^{a*m}=z*y^{-b} (mod\ p)\) 怎么求解,为…

bsgs算法: 我们在逆元里曾经讲到过如何用殴几里得求一个同余方程的整数解.而\(bsgs\)就是用来求一个指数同余方程的最小整数解的:也就是对于\(a^x\equiv b \mod p\) 我们可以用\(bsgs\)在\(O(\sqrt n)\) 的复杂度内求出关于\(x\)的最小正整数解.(前提是\(p\)为质数) \(a^x\equiv b \mod p\) 我们可以知道如果我们的模数p是一个质数,我们将同余式的右边以逆元的形式乘到左边来,根据殴拉定理(因为p是质数,所以a,p互质)则我们…

Baby Steps-Varsity Giant Step-Astronauts(May'n・椎名慶治) 阅读时可以听听这两首歌,加深对这个算法的理解.(Baby steps少女时代翻唱过,这个原唱反而不是很有名……Giant Step就比较碉,是一个假面骑士片的插曲,由超碉的May'n和一个人建立的临时组合唱的,怕不怕) 这个主要是用来解决这个题: A^x=B(mod C)(C是质数),都是整数,已知A.B.C求x. 我在网上看了好多介绍,觉得他们写得都不够碉,我看不懂…于是我也来写一发. 先…

说是BSGS……但是跟前面那题的扩展BSGS其实是一样的……因为模数虽然是质数,但是其可能可以整除a!!所以这两者其实是一样的…… 第一二种操作不赘述. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; ll Quick_Pow(ll a,ll p,ll MOD){ if(!p){…

BSGS \(BSGS\)算法又称大步小步\((Baby-Step-Giant-Step)\)算法 \(BSGS\)算法主要用于解以下同余方程 \[A^x\equiv B(mod\ p)\]其中\((A,P)=1\),即\(A\)与\(P\)互质 前置知识 根据欧拉定理\(A^{ \varphi(p)} \equiv1(mod\ p)\),所以\(A^x(mod\ p)\)的循环节为\(\varphi(p)\).也就是说如果上面的方程有解\(x\),那么肯定有\(x \in [0,\varphi…

BSGS算法总结 \(BSGS\)算法(Baby Step Giant Step),即大步小步算法,用于解决这样一个问题: 求\(y^x\equiv z\ (mod\ p)\)的最小正整数解. 前提条件是\((y,p)=1\). 我们选定一个大步长\(m=\sqrt p + 1\),设\(x=am+b\),那么显然有\(a,b\in[0,m)\).这样就有\(y^{am+b}\equiv z\ (mod\ p)\),就有\((y^m)^a=z*y^{-b}\ (mod\ p)\). 但是这个逆元…

BSGS: 求合法的\(x\)使得\(a ^ x \quad mod \quad p = b\) 先暴力预处理出\(a^0,a^1,a^2.....a^{\sqrt{p}}\) 然后把这些都存在map里 : \(map[a^x] = x\) 一个合法的x满足\(x = k\sqrt{p} + l\)使得\(a^x = b\),因此可以直接枚举k,于是有: \[a^x = a^{k\sqrt{p}} \cdot a^l = b\] \[a^l = \frac{b}{a^{k\sqrt{p}}} =…